사영 선형군

군론과 사영기하학에서 사영 선형군(射影線型群, 영어: projective linear group)은 어떤 사영 공간의 자기 동형군이다. 즉, 일반 선형군의, 그 군의 중심에 대한 몫군이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$의 사영 선형군 $\operatorname {PGL} (V;K)$은 다음과 같은 짧은 완전열에 대한 몫군이다.

$1\to K^{\times }\hookrightarrow \operatorname {GL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (V;K)\to 1$

여기서

• $K^{\times }$는 $K$의 가역원군이다.
• $K^{\times }\hookrightarrow \operatorname {GL} (V;K)$는 가환환의 원소의 작용 $a\mapsto a\operatorname {id} _{V}$이며, 그 상은 $\operatorname {GL} (V;K)$의 군의 중심이다.

사영 특수 선형군

만약 $K$가 가환환이며 $V$가 유한 $n$차원 $K$-자유 가군일 때, 특수 선형군 $\operatorname {SL} (V;K)$를 정의할 수 있으며, 그 중심은

$\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (V;K))=\operatorname {Z} (\operatorname {GL} (V;K))\cap \operatorname {SL} (V;K)=\{a\in \mathbb {K} ^{\times }\colon \exists b\in K^{\times }\colon b^{n}=a\}$

이다. 사영 특수 선형군(영어: projective special linear group)은 특수 선형군의, 그 중심에 대한 몫군이다.

$1\to \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (V;K))\to \operatorname {SL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PSL} (V;K)\to 1$

성질

가환환 $K$ 및 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\begin{matrix}1&\to &K^{\times }&\to &\operatorname {GL} (n;K)&\to &\operatorname {PGL} (n;K)&\to &1\\&&{\scriptstyle (-)^{n}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle (-)^{n}}&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SZ} (n;K)&\to &\operatorname {SL} (n;K)&\to &\operatorname {PSL} (n;K)&\to &1\\\end{matrix}}$

여기서 $\operatorname {SZ} (n;K)$는 $n$차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) $K$의 가역원들의 아벨 군이다.

만약 $K$에서 모든 $n$ 차 거듭제곱근이 존재한다면, 즉 어떤 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여

$(-)^{n}\colon K^{\times }\to K^{\times }$

$(-)^{n}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{n}$

가 전사 함수라면, $\operatorname {PGL} (n;K)$와 $\operatorname {PSL} (n;K)$는 서로 같다.

예

유한체

유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다.

$|\operatorname {PGL} (n;\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{q-1}}|\operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{q-1}}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{n}-q^{i})$

또한, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

$\operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)$

$\operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Alt} (4)$

$\operatorname {PGL} (2;\mathbb {F} _{3})\cong \operatorname {Sym} (4)$

여기서 $\operatorname {Sym} (-)$은 대칭군이며, $\operatorname {Alt} (-)$는 교대군이다.

모듈러 군

 이 부분의 본문은 모듈러 군입니다.

정수 계수 2차 사영 특수 선형군 $\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$는 모듈러 군이며, 이는 모듈러 형식의 이론에 중요한 역할을 한다.

같이 보기

• 가역원

외부 링크

• “Projective general linear group”. 《nLab》 (영어). 
• “Projective special linear group”. 《nLab》 (영어).