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수학에서, 어떤 도형에 대한 대칭변환군(對稱變換群, symmetry group)은 그 도형이 놓인 공간에 대한 합동변환 중에서 그 대상을 변하지 않게 하는 것들의 집합에 함수의 합성을 연산으로 주어 만들어지는 군이다. 반면, 어떤 집합에 대한 대칭군은 그것이 놓인 공간을 생각하지 않고 그 집합을 변하지 않게 하는 함수(다시 말해, 그 집합에서 그 집합으로 가는 일대일 대응)들로 이루어진 군이다.

대칭변환군의 예 편집

이 그림은 정사면체의 대칭변환군의 원소(변환)들 중 회전이동만을 나타낸 것인데, 이들만으로도 군을 이룬다. 이와 같이, 회전이동만으로 정사면체를 삼차원 공간 안에서 (집합으로서는 모두 일치하는) 12가지 방법으로 놓을 수 있다. 붉은색 계통의 화살표는 꼭지점과 그 맞은편 면의 중심을 잇는 직선을 축으로 하는 120° 회전을 나타내며, 파란색 계통의 화살표는 만나지 않는 한 쌍의 모서리의 중점들을 잇는 직선을 축으로 하는 180° 회전을 나타낸다.

예를 들어, 평면에 놓인 정삼각형 ABC에 대한 대칭변환군은 다음 여섯 개의 변환으로 이루어져 있다. (G는 그 정삼각형의 무게중심)

항등변환, 즉 아무 것도 하지 않는 것
G를 중심으로 반시계방향으로 120° 회전이동
G를 중심으로 반시계방향으로 240° 회전이동
A와, 선분 BC의 중심을 잇는 직선을 축으로 하는 선대칭이동
B와, 선분 CA의 중심을 잇는 직선을 축으로 하는 선대칭이동
C와, 선분 AB의 중심을 잇는 직선을 축으로 하는 선대칭이동

이들 변환들을 임의로 합성해도 반드시 이 여섯 개 중 하나가 됨을 확인할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이, 삼차원 공간 안에 놓인 정사면체에 대해서 진성 대칭변환군의 원소는 12개이고, 면대칭이동(뒤집기)을 고려하면 24개의 원소가 있게 된다. 따라서, 삼차원 공간에 놓인 정사면체에 대한 대칭변환군의 원소는 모두 24개이다.

대칭변환군은 공간에 대한 합동변환으로 이루어진 군이므로 그 안에 놓인 물체들에 대한 작용을 만드는데 사용될 수 있다.

특수한 대칭변환군 편집

일반적으로 대칭변환군의 원소 중에서 뒤집기(2차원의 선대칭이동, 3차원의 면대칭이동 등등)가 없는 것들, 다시 말해 회전이동, 평행이동 및 그것들의 합성들만 모아도 하나의 군이 되며 이 군을 진성 대칭변환군(proper symmetry group)이라 한다. 예를 들어 위의 그림에 나타나 있는 대로, 뒤집기가 없는 변환들(이 경우는 회전이동)만으로도 군을 만들 수 있으므로 원소가 12개인 이 군은 진성 대칭변환군이며 전체 대칭변환군의 부분군이다.

대칭변환군은 주로 유클리드 공간에 놓인 도형에 대해서 이야기하지만, 다른 문맥으로 확장되어 사용되기도 한다. 예를 들어 부호 이론에서 부호에 대한 대칭변환군을 생각하기도 하며, 유클리드 공간이 아닌 공간에서 생각하기도 한다. 또한 같은 도형이라도 각 점에 어떤 속성이 있을 경우 그것까지 변하지 않게 하는 합동변환들을 생각할 수도 있다. 예를 들어 물리학에서 각 점의 색이나, 물질적 성분, 위치에너지 등이 주어져 있고 그것까지도 변하지 않게 하는 변환들을 생각하면, 점의 위치만을 생각했을 때의 대칭변환군의 부분군을 얻을 수 있다.

대칭변환군의 원소인 변환들에 공통인 고정점이 있을 경우(이는 유한개의 원소를 가진 대칭변환군이거나, 유계인 도형에 대한 대칭변환군이면 항상 성립한다), 그 군은 그 고정점(중 하나)를 원점으로 잡았을 때 생기는 직교군 O(n) 의 한 부분군으로 볼 수 있다. 또한 진성 대칭변환군은 특수직교군 SO(n) 의 부분군으로 볼 수 있으므로 그 도형에 대한 회전변환군 으로 불리기도 한다.

이산적인 대칭변환군은 두 가지 경우로 나눌 수 있다. 하나는 회전이동, 뒤집기, 그리고 그것들의 합성으로만 이루어진 유한군인 유심변환군(point group)으로, 유심변환군은 모두 직교군 O(n)의 유한인 부분군이다. 다른 하나의 이산적인 대칭변환군은 평행이동을 포함하고, 밀며 뒤집기(glide reflection)도 포함할 수 있는 무한군인 격자 변환군이다.

연속적인 대칭변환군은 회전각이 임의의 작은 값이 될 수 있는 회전이동이나, 이동거리가 임의의 작은 값이 될 수 있는 평행이동을 포함하는 것을 말하는데, 구에 대한 대칭변환군이 그 예이며, 일반적으로 그러한 연속적인 대칭변환군은 리 군의 일종으로 다루어진다. 대칭변환군을 분류하는 것은 유클리드 변환군의 부분군을 분류하는 것과 대응한다.

두 도형의 대칭변환군이 각각 유클리드 군 E(n) (Rⁿ 의 합동변환군)의 부분군이고 서로 켤레(conjugate)일 때, 그 두 도형은 서로 같은 대칭성 유형(symmetry type)을 갖는다고 한다. (군 G의 두 부분군 H₁, H₂ 가 서로 켤레라는 것은 G의 한 원소 g가 존재하여 H₁=g^-1H₂g 가 됨을 뜻한다.) 같은 대칭성 유형을 갖는 도형의 몇 가지 예를 들면 다음과 같다.

각각 면대칭성을 갖지만 대칭면이 서로 다른 두 삼차원 도형
각각 3겹 회전대칭성을 갖지만 회전축이 서로 다른 두 삼차원 도형
각각 한 방향의 평행이동에 대한 대칭성을 갖고 평행이동의 벡터의 길이가 갖지만 방향이 다른 두 평면도형

때에 따라 "같은 대칭성 유형"이라는 말이 더 넓은 개념으로 쓰이기도 하는데, 예를 들어 17개의 벽지무늬 변환군을 같은 유형으로 보는 것이 그런 예이다.

합동변환군을 다룰 때, 각각의 점에 그 군의 모든 합동변환을 적용하여 생긴 상의 집합이 닫힌 집합이 되는 경우에 한정하여 생각하기도 한다. 이렇게 하면, 예를 들어 1차원에서 유리수만큼으로 평행이동하는 변환들로 이루어진 군은 제외하게 된다. (이런 변환군에 대하여 대칭인 "도형"은 정확히 그릴 수 없으며 임의의 작은 척도에서 균일하지만, 정말로 균일하지는 않다.)

일차원에서 편집

일차원에서 각각의 점에 그 군의 모든 변환을 적용하여 얻는 상이 닫힌 집합이 되는 합동변환군은 다음과 같다.

자명한 군 C₁
한 점에 대한 대칭이동으로 생성되는 원소가 두 개인 군들. 각각 C₂와 동형이다.
하나의 평행이동으로 생성되는 이산적인 무한군들. 각각 Z와 동형이다.
하나의 평행이동과 한 점에 대한 대칭이동으로 생성되는 이산적인 무한군들 Z에 대한 일반화된 정이면체군 Dih(Z) (D_∞로 쓰기도 하며, Z 와 C₂의 반직적이다)와 동형이다.
모든 평행이동으로 이루어진 군. R과 동형이다. 어떤 "무늬"에 대한 대칭변환군이 될 수 없다. 균일하고, 따라서 뒤집기가 가능하지만

the group generated by all translations (isomorphic with R); this group cannot be the symmetry group of a "pattern": it would be homogeneous, hence could also be reflected. However, a uniform 1D vector field has this symmetry group.
the group generated by all translations and reflections in points; they are isomorphic with the generalized dihedral group of R, Dih(R).

Two dimensions 편집

Up to conjugacy the discrete point groups in 2 dimensional space are the following classes:

cyclic groups C₁, C₂, C₃, C₄,... where C_n consists of all rotations about a fixed point by multiples of the angle 360°/n
dihedral groups D₁, D₂, D₃, D₄,... where D_n (of order 2n) consists of the rotations in C_n together with reflections in n axes that pass through the fixed point.

C₁ is the trivial group containing only the identity operation, which occurs when the figure has no symmetry at all, for example the letter F. C₂ is the symmetry group of the letter Z, C₃ that of a triskelion, C₄ of a swastika, and C₅, C₆ etc. are the symmetry groups of similar swastika-like figures with five, six etc. arms instead of four.

D₁ is the 2-element group containing the identity operation and a single reflection, which occurs when the figure has only a single axis of bilateral symmetry, for example the letter A. D₂, which is isomorphic to the Klein four-group, is the symmetry group of a non-equilateral rectangle, and D₃, D₄ etc. are the symmetry groups of the regular polygons.

The actual symmetry groups in each of these cases have two degrees of freedom for the center of rotation, and in the case of the dihedral groups, one more for the positions of the mirrors.

The remaining isometry groups in 2D with a fixed point, where for all points the set of images under the isometries is topologically closed are:

the special orthogonal group SO(2) consisting of all rotations about a fixed point; it is also called the circle group S¹, the multiplicative group of complex numbers of absolute value 1. It is the proper symmetry group of a circle and the continuous equivalent of C_n. There is no figure which has as full symmetry group the circle group, but for a vector field it may apply (see the 3D case below).
the orthogonal group O(2) consisting of all rotations about a fixed point and reflections in any axis through that fixed point. This is the symmetry group of a circle. It is also called Dih(S¹) as it is the generalized dihedral group of S¹.

For non-bounded figures, the additional isometry groups can include translations; the closed ones are:

the 7 frieze groups
the 17 wallpaper groups
for each of the symmetry groups in 1D, the combination of all symmetries in that group in one direction, and the group of all translations in the perpendicular direction
ditto with also reflections in a line in the first direction

Three dimensions 편집

Up to conjugacy the set of 3D point groups consists of 7 infinite series, and 7 separate ones. In crystallography they are restricted to be compatible with the discrete translation symmetries of a crystal lattice. This crystallographic restriction of the infinite families of general point groups results in 32 crystallographic point groups (27 from the 7 infinite series, and 5 of the 7 others).

See point groups in three dimensions.

The continuous symmetry groups with a fixed point include those of:

cylindrical symmetry without a symmetry plane perpendicular to the axis, this applies for example often for a bottle
cylindrical symmetry with a symmetry plane perpendicular to the axis
spherical symmetry

For objects and scalar fields the cylindrical symmetry implies vertical planes of reflection. However, for vector fields it does not: in cylindrical coordinates with respect to some axis, $\mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$ has cylindrical symmetry with respect to the axis if and only if $A_{\rho },A_{\phi },$ and $A_{z}$ have this symmetry, i.e., they do not depend on φ. Additionally there is reflectional symmetry if and only if $A_{\phi }=0$ .

For spherical symmetry there is no such distinction, it implies planes of reflection.

The continuous symmetry groups without a fixed point include those with a screw axis, such as an infinite helix. See also subgroups of the Euclidean group.

Symmetry groups in general 편집

In wider contexts, a symmetry group may be any kind of transformation group, or automorphism group. Once we know what kind of mathematical structure we are concerned with, we should be able to pinpoint what mappings preserve the structure. Conversely, specifying the symmetry can define the structure, or at least clarify what we mean by an invariant, geometric language in which to discuss it; this is one way of looking at the Erlangen programme.

For example, automorphism groups of certain models of finite geometries are not "symmetry groups" in the usual sense, although they preserve symmetry. They do this by preserving families of point-sets rather than point-sets (or "objects") themselves. See pattern groups.

Like above, the group of automorphisms of space induces a group action on objects in it.

For a given geometric figure in a given geometric space, consider the following equivalence relation: two automorphisms of space are equivalent if and only if the two images of the figure are the same (here "the same" does not mean something like e.g. "the same up to translation and rotation", but it means "exactly the same"). Then the equivalence class of the identity is the symmetry group of the figure, and every equivalence class corresponds to one isomorphic version of the figure.

There is a bijection between every pair of equivalence classes: the inverse of a representative of the first equivalence class, composed with a representative of the second.

In the case of a finite automorphism group of the whole space, its order is the order of the symmetry group of the figure multiplied by the number of isomorphic versions of the figure.

Examples:

Isometries of the Euclidean plane, the figure is a rectangle: there are infinitely many equivalence classes; each contains 4 isometries.
The space is a cube with Euclidean metric; the figures include cubes of the same size as the space, with colors or patterns on the faces; the automorphisms of the space are the 48 isometries; the figure is a cube of which one face has a different color; the figure has a symmetry group of 8 isometries, there are 6 equivalence classes of 8 isometries, for 6 isomorphic versions of the figure.

Compare Lagrange's theorem (group theory) and its proof.

External links 편집

Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetry Group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Tetrahedral Group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Overview of the 32 crystallographic point groups - form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups