사유한군

(사유한 완비에서 넘어옴)

수학에서 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군사영극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의 편집

사유한군하우스도르프 콤팩트 위상군 가운데, 모든 연결 부분 집합이 하나 이하의 원소를 갖는 경우다. 즉, 스톤 공간위상군이다.

이 조건은 이 위상군이산 유한군들의 사영극한(projective/inverse limit)과 동형이어야 한다는 조건과 동치이다.

성질 편집

사유한 완비화 편집

임의의  사유한 완비화(射有限完備化, 영어: profinite completion)  는 다음과 같다.

 

즉,  의 모든 유한 지표 정규 부분군  에 대한 몫군들의 사영극한이다.  는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형  가 존재하며, 이 준동형의  조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉,  일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주  의 범주   사이의 망각 함자

 

왼쪽 수반 함자

 
 

를 이룬다.[1]:345

함자의 구성:

사유한 완비화  는 다음 조건을 만족시키는 원소

 

들로 구성된 (이산 위상곱위상부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.

  • 임의의 유한 지표 정규 부분군  에 대하여,  

그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

 

은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

 
 

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모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수  는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군  들의 사영극한으로 정의된다. 정수 의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱동형이다.

 

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대  가 주어지면  를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군  는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대  들의 사영극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.[2]

대수기하학에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

참고 문헌 편집

  1. Horel, Geoffroy (2017). “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group” (영어) 321: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007. 
  2. Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031. 

외부 링크 편집