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사유한군

(사유한 완비에서 넘어옴)

수학에서, 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군사영극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의편집

사유한군하우스도르프 콤팩트 위상군 가운데, 모든 연결 부분 집합이 하나 이하의 원소를 갖는 경우다. 즉, 스톤 공간위상군이다.

이 조건은 이 위상군이산 유한군들의 사영극한(projective/inverse limit)과 동형이어야 한다는 조건과 동치이다.

사유한 완비편집

임의의  사유한 완비(射有限完備 영어: profinite completion)  는 다음과 같다.

 

즉,  의 모든 정규 부분군  에 대한 몫군들의 사영극한이다.  는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형  가 존재하며, 이 준동형의  조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비 연산은 멱등이 아니다. 즉,  일 수 있다.

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  • 모든 이산 유한군은 사유한군이다.
  • p진 정수  는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군  들의 사영극한으로 정의된다.
  • 사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대  가 주어지면  를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군  는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대  들의 사영극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.[1]
  • 대수기하학에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

성질편집

참고 문헌편집

  1. Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.