원함수 는 여기로 연결됩니다. 어떤 함수를 도함수로 하는 함수에 대해서는
부정적분 문서를 참조하십시오.
수학 에서, 삼각함수 (三角函數, 영어 : trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions )는 각 의 크기를 삼각비 로 나타내는 함수 이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형 의 예각 에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수 의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수 를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수 이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수 의 형태로 등장한다.
삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인 (영어 : sine , 기호 sin) · 코사인 (영어 : cosine , 기호 cos) · 탄젠트 (영어 : tangent , 기호 tan)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트 (영어 : cosecant , 기호 csc) · 시컨트 (영어 : secant , 기호 sec) · 코탄젠트 (영어 : cotangent , 기호 cot)라고 한다.
직각 삼각형을 통한 정의 편집 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를
a
,
b
,
h
{\displaystyle a,b,h}
사인 , 코사인 , 탄젠트 의 정의는 다음과 같다.
사인:
sin
A
=
a
h
{\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}}
코사인:
cos
A
=
b
h
{\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}}
탄젠트:
tan
A
=
a
b
{\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}
또한, 코시컨트 , 시컨트 , 코탄젠트 는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
코시컨트:
csc
A
=
h
a
=
1
sin
A
{\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}}
시컨트:
sec
A
=
h
b
=
1
cos
A
{\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}}
코탄젠트:
cot
A
=
b
a
=
1
tan
A
{\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}}
단위원을 통한 정의 편집 좌표평면 에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원 이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
sin
θ
=
y
r
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}
cos
θ
=
x
r
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}
tan
θ
=
sin
θ
cos
θ
=
y
x
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}}
sec
θ
=
1
cos
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}
csc
θ
=
1
sin
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}
cot
θ
=
1
tan
θ
=
cos
θ
sin
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
복소 삼각함수 편집 오일러의 공식
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x}
x
=
b
i
{\displaystyle \,x=bi}
e
−
b
=
cos
b
i
+
i
sin
b
i
{\displaystyle \,e^{-b}=\cos bi+i\sin bi}
x
=
−
b
i
{\displaystyle \,x=-bi}
e
b
=
cos
(
−
b
i
)
+
i
sin
(
−
b
i
)
=
cos
b
i
−
i
sin
b
i
{\displaystyle \,e^{b}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi}
연립하여 풀면, 쌍곡선함수 ,
cos
b
i
=
e
b
+
e
−
b
2
=
cosh
b
{\displaystyle \cos bi={\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}=\cosh b}
i
sin
b
i
=
−
e
b
+
e
−
b
2
,
{\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,}
−
i
sin
b
i
=
e
b
−
e
−
b
2
=
sinh
b
{\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}
주기성과 특이점 편집 사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가
2
π
{\displaystyle 2\pi }
주기함수 이다. 즉, 임의의 복소수
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
sin
z
=
sin
(
z
+
2
π
)
{\displaystyle \sin z=\sin(z+2\pi )}
cos
z
=
cos
(
z
+
2
π
)
{\displaystyle \cos z=\cos(z+2\pi )}
csc
z
=
csc
(
z
+
2
π
)
{\displaystyle \csc z=\csc(z+2\pi )}
sec
z
=
sec
(
z
+
2
π
)
{\displaystyle \sec z=\sec(z+2\pi )}
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가
π
{\displaystyle \pi }
주기함수 이다. 즉, 임의의 복소수
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
tan
z
=
tan
(
z
+
π
)
{\displaystyle \tan z=\tan(z+\pi )}
cot
z
=
cot
(
z
+
π
)
{\displaystyle \cot z=\cot(z+\pi )}
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수 이며, 복소 평면 위에서 정칙함수 이다. 이들은 복소 무한대
∞
^
{\displaystyle {\hat {\infty }}}
본질적 특이점 을 갖는다.[1] [2]
탄젠트는 실수선의
π
/
2
+
n
π
{\displaystyle \pi /2+n\pi }
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
사인과 코사인의 그래프
탄젠트 그래프
코시컨트 그래프
특별한 값 편집 특별한 각 에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.
180
∘
=
π
r
a
d
{\displaystyle {180^{\circ }}={\pi }\;\mathrm {rad} }
라디안 )특수각
사인
코사인
탄젠트
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
π
/
6
{\displaystyle \pi /6}
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
3
/
2
{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}
1
/
3
{\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}
π
/
4
{\displaystyle \pi /4}
2
/
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}
2
/
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}
1
{\displaystyle 1}
π
/
3
{\displaystyle \pi /3}
3
/
2
{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
∞
{\displaystyle \infty }
각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.
사분면
sin과 csc
cos과 sec
tan와 cot
I
+
+
+
II
+
−
−
III
−
−
+
IV
−
+
−
삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식 으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가
r
{\displaystyle r}
b
,
{\displaystyle b,}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
a
2
+
b
2
r
2
=
r
2
r
2
=
1
{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}=1}
피타고라스의 정리 로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \,\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
이것은 다음과 같다.
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
(
a
r
)
2
+
(
b
r
)
2
=
1
{\displaystyle \left({a \over r}\right)^{2}+\left({b \over r}\right)^{2}=1}
(
a
2
r
2
)
+
(
b
2
r
2
)
=
1
{\displaystyle \left({a^{2} \over r^{2}}\right)+\left({b^{2} \over r^{2}}\right)=1}
a
2
+
b
2
r
2
=
r
2
r
2
=
1
{\displaystyle {a^{2}+b^{2} \over r^{2}}={r^{2} \over r^{2}}=1}
a
2
+
b
2
=
r
2
=
1
∵
r
=
1
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=r^{2}=1\;\because \;r=1}
따라서, 이것은 또한 단위원 에서 다음과 같다.
(
3
2
)
2
+
(
1
2
)
2
=
1
{\displaystyle \left({{\sqrt {3}} \over 2}\right)^{2}+\left({1 \over 2}\right)^{2}=1}
삼각함수의 덧셈정리 편집 서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리 제2 코사인 법칙 과 두 점 사이의 거리 공식 을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙 과 사인 법칙 을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식 을 이용해 유도할 수도 있다.
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
,
{\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,}
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}
두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.
모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
sin
cos
tan
cot
sec
csc
sin
sin
x
{\displaystyle \sin x}
1
−
cos
2
x
{\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
(
tan
x
)
/
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)/{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}
1
/
cot
2
x
+
1
{\displaystyle 1/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}}
sec
2
(
x
)
−
1
/
(
sec
x
)
{\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}/(\sec x)}
1
/
(
csc
x
)
{\displaystyle 1/(\csc x)}
cos
1
−
sin
2
x
{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
1
/
1
+
tan
2
(
x
)
{\displaystyle 1/{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}
(
cot
x
)
/
cot
2
x
+
1
{\displaystyle (\cot x)/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}}
1
/
(
sec
x
)
{\displaystyle 1/(\sec x)}
csc
2
x
−
1
/
(
csc
x
)
{\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}/(\csc x)}
tan
(
sin
x
)
/
1
−
sin
2
x
{\displaystyle (\sin x)/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
1
−
cos
2
x
/
(
cos
x
)
{\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}/(\cos x)}
tan
x
{\displaystyle \tan x}
1
/
(
cot
x
)
{\displaystyle 1/(\cot x)}
sec
2
x
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}
1
/
csc
2
x
−
1
{\displaystyle 1/{\sqrt {\csc ^{2}x-1}}}
cot
1
−
sin
2
x
/
(
sin
x
)
{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}/(\sin x)}
(
cos
x
)
/
1
−
cos
2
x
{\displaystyle (\cos x)/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
1
/
(
tan
x
)
{\displaystyle 1/(\tan x)}
cot
(
x
)
{\displaystyle \cot(x)}
1
/
sec
2
x
−
1
{\displaystyle 1/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}
csc
2
x
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}}
sec
1
/
1
−
sin
2
x
{\displaystyle 1/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
1
/
(
cos
x
)
{\displaystyle 1/(\cos x)}
1
+
tan
2
x
{\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}
cot
2
x
+
1
/
(
cot
x
)
{\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}/(\cot x)}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
(
csc
x
)
/
csc
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle (\csc x)/{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}
csc
1
/
(
sin
x
)
{\displaystyle 1/(\sin x)}
1
/
1
−
cos
2
x
{\displaystyle 1/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
1
+
tan
2
x
/
(
tan
x
)
{\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}/(\tan x)}
cot
2
x
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}}
(
sec
x
)
/
sec
2
x
−
1
{\displaystyle (\sec x)/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}
csc
x
{\displaystyle \csc x}
미분과 적분 편집 다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.
함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
도함수
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
부정적분
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int f(x)\,dx}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle -\cos x+C}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
sin
x
+
C
{\displaystyle \sin x+C}
tan
x
{\displaystyle \tan x}
sec
2
x
{\displaystyle \sec ^{2}x}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}
cot
x
{\displaystyle \cot x}
−
csc
2
x
{\displaystyle -\csc ^{2}x}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
sec
x
tan
x
{\displaystyle \sec {x}\tan {x}}
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}
csc
x
{\displaystyle \csc x}
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle -\csc {x}\cot {x}}
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}
사인 법칙 편집 사인 법칙 은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A , B , C 의 대변 a , b , c 에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}
마찬가지로,
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}
도 성립한다. 여기서 R 은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.
코사인 법칙 편집 코사인 법칙 에는 총 두 가지의 법칙이 있다.
코사인 제 1 법칙 에 따르면,
c
=
b
cos
A
+
a
cos
B
{\displaystyle c=b\cos A+a\cos B}
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.
코사인 제 2 법칙 은 피타고라스의 정리 를 확장한 것이다.
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
C
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
와 같이 나타낼 수 있다.
코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.
탄젠트 법칙 편집 탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A , B 의 대변 a , b 에 다음과 같은 식을 만족시킨다.
a
+
b
a
−
b
=
tan
1
2
(
A
+
B
)
tan
1
2
(
A
−
B
)
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(A+B)}}{\tan {{1 \over 2}(A-B)}}}}
기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스 와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현 의 길이를 다룬 적이 있다.
현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다.
삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다. 독일의 선교사이자 과학자인 요한 슈렉 이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 정현 (正弦)·여현 (餘弦)·정절 (正切)이라고 번역했다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.
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