산술 도함수

수론에서 산술 도함수(算術導函數, 영어: arithmetic derivative)란 정수 상에서 소인수 분해를 기초로 정의된 함수로서, 라이프니츠 법칙을 만족하여 일종의 도함수처럼 계산할 수 있다.

정의

우선 음이 아닌 정수에 대해 산술 도함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

• 임의의 소수 $p\!$에 대해 $p'\;=\;1\!$.
• 임의의 $a{\textrm {,}}\,b\;\in \;\mathbb {N}$에 대해 $(ab)'\;=\;a'b\,+\,ab'\!$. (라이프니츠 법칙)

여기에 덧붙여 $1':=0$ 과 $0':=0$ 이라 둔다. 그러면 이상에서 모든 자연수 및 0에 대해 산술 도함수가 잘 정의된다. 구체적으로, 임의의 1보다 큰 정수 $x\!$에 대해 산술의 기본정리를 적용하여 다음과 같이 놓자.

$x=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}}{\textrm {,}}$

여기서 $p_{1},\,\dots ,\,p_{k}$는 서로 다른 소수이며 $e_{1},\,\dots ,\,e_{k}$는 양의 정수이다. 그러면, $x\!$의 산술 도함수는,

$x'=\sum _{i=1}^{k}e_{i}p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{i-1}^{e_{i-1}}p_{i}^{e_{i}-1}p_{i+1}^{e_{i+1}}\cdots p_{k}^{e_{k}}=\sum _{i=1}^{k}e_{i}{\frac {x}{p_{i}}}$

와 같이 명시적으로 구할 수 있다. 이러한 정의를 처음으로 공식화한 사람은 E. J. Barbeau인데, Barbeau는 이상의 자연수 및 0에 대한 정의를 받아들이면 음의 정수에 대하여도 $(-x)'\;:=\;-(x')$ 와 같이 정의할 경우 모든 정수 상에서 산술 도함수가 유일하게 확장됨을 증명하였다.

기본 성질과 확장

산술 도함수는 이상의 정의에 따라 소수 $p\!$ 와 양의 정수 $a$에 대해 다음과 같은 거듭제곱 법칙을 만족한다.

$(p^{a})'=ap^{a-1}$

이를테면 다음과 같다.

${\begin{aligned}81'=(3^{4})'&=(9\cdot 9)'=9'\cdot 9+9\cdot 9'=2[9(3\cdot 3)']\\&=2[9(3'\cdot 3+3\cdot 3')]=2[9\cdot 6]=108=4\cdot 3^{3}.\end{aligned}}$

또 기술한 Barbeau는 유리수에 대하여 다음의 몫의 법칙을 만족하도록 산술 도함수를 확장할 수 있음도 보였다.

$\left({\frac {a}{b}}\right)'={\frac {a'b-b'a}{b^{2}}}\ .$

Victor Ufnarovski와 보 올란데르(Bo Åhlander)는 이상의 정의를 일부 무리수에 대해서도 확장하였다. 이러한 무리수에 대한 확장에서는, 전술한 소인수 분해를 통한 명시적 정의식의 형태는 그대로 적용되나 지수 부분인 $e_{i}$는 임의의 유리수를 취할 수 있다.

나아가, 형식적으로 $(\ln n)':={\frac {n'}{n}}$ 와 같이 로그 도함수를 정의할 수 있는데, 이 로그 도함수의 정의역을 자연수에 제한할 경우 완전 가법적 함수(totally additive function)가 된다. 즉, 임의의 자연수 a, b에 대하여,

$(\ln ab)'=(\ln a)'+(\ln b)'$

이 성립하게 된다.

평균 차수

산술 도함수와 산술 로그 도함수의 평균 차수(average order)에 대한 다음과 같은 결과가 있다.(이하에서 n 은 자연수이다)

$\sum _{n\leq x}n'=(1/2)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })$

$\sum _{n\leq x}{\frac {n'}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)$

여기서 δ는 임의의 양수이며, $T_{0}$는 다음과 같다.

$T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-2)}}\approx 0.749\ .$

부등식과 상하계

E. J. Barbeau는 산술 도함수의 상하계에 대하여 다음 두 부등식이 성립함을 보였다.(이하에서 n 은 자연수이다)

$n'\leq {\frac {n\log _{k}n}{k}}$

여기서 k는 n 의 최소 소인수이며,

$n'\geq sn^{\frac {s-1}{s}}$

여기서 s는 n 을 나누는 소수의 가짓수이다. 이상의 부등식들은 n 이 2의 거듭제곱수일 때, 즉 $n=2^{m}$ 꼴에 대해서만 등호가 성립한다.

Alexander Loiko와 요나스 에른스트 올손(Jonas Ernst Olsson), 니클라스 달(Niklas Dahl)은 산술 도함수의 정의역을 앞에서와 같은 방식으로 유리수로 확장했을 때에는, 두 서로 다른 유리수 사이에는 임의로 크거나 작은 산술 도함수를 갖는 유리수들이 존재함을 보임으로써 비슷한 부등식이 성립할 수 없음을 보였다.

수론의 문제들과의 관련성

빅토르 우프나롭스키(Victor Ufnarovski)와 보 알란데르는 유명한 수론의 미해결 문제인 쌍둥이 소수 추측, 소수 세짝 추측, 골트바흐의 추측과 산술 도함수가 관련이 있음을 보였다. 예로, 골트바흐의 추측을 가정하면 1보다 큰 자연수 k에 대하여 n' = 2k 을 만족하는 자연수 n 이 항상 존재한다. 또 쌍둥이 소수 추측을 가정하면 k'' = 1 을 만족하는 자연수 k는 무수히 많다.

참고 문헌

• Barbeau, E. J. (1961). “Remarks on an arithmetic derivative”. 《Canadian Mathematical Bulletin》 4: 117–122. doi:10.4153/CMB-1961-013-0. Zbl 0101.03702. 
• Ufnarovski, Victor; Åhlander, Bo (2003). “How to Differentiate a Number”. 《Journal of Integer Sequences》 6. Article 03.3.4. ISSN 1530-7638. Zbl 1142.11305. 
• Arithmetic Derivative Archived 2007년 10월 18일 - 웨이백 머신, Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
• L. Westrick. Investigations of the Number Derivative.
• Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• Stay, Michael (2005). “Generalized Number Derivatives”. 《Journal of Integer Sequences》 8. Article 05.1.4. ISSN 1530-7638. Zbl 1065.05019. 
• Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigation of the properties of the arithmetic derivative.