삼각 부등식

삼각 부등식(三角不等式)은 삼각형의 세 변에 대한 부등식으로, 임의의 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다는 것이다. 이 부등식은 여러 공간에 적용된다.

노름 벡터 공간편집

두 변의 벡터를 각각 $x$ , $y$ 라고 하면 이 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|

{\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}\end{aligned}}

거리 공간 $M$ 에 $x,y,z$ 가 있고 이들 사이의 거리를 $d$ 라고 한다면 다음의 부등식이 성립한다.

d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)