대수기하학 에서 사영 스펙트럼 (射影spectrum, 영어 : projective spectrum )은 등급환 으로부터 스킴 을 만드는 한 방법이다.[ 1] :76–77 다항식 들의 등급환 에 적용하면 통상적인 사영 공간 을 얻는다. 기호는 Proj(R ).
가환환
R
{\displaystyle R}
자연수 등급이 주어져 등급환
R
=
⨁
i
=
0
∞
R
i
=
R
0
⊕
R
1
⊕
R
2
⊕
⋯
{\displaystyle R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \dotsb }
을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼
R
+
=
⨁
i
=
1
∞
R
i
{\displaystyle \textstyle R_{+}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }R_{i}}
R
{\displaystyle R}
사영 스펙트럼
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
R
{\displaystyle R}
소 아이디얼
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
동급이다. 즉, 임의의
r
∈
a
{\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}}
r
i
∈
R
i
{\displaystyle r_{i}\in R_{i}}
∀
i
∈
N
:
r
i
∈
a
{\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon r_{i}\in {\mathfrak {a}}}
무관 아이디얼 을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉,
R
+
⊈
a
{\displaystyle R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {a}}}
여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간 에서 무관 아이디얼 을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합 이기 때문이다.
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
자리스키 위상 위상 공간 으로 만든다.
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
열린집합 들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다.
R
{\displaystyle R}
아이디얼
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
U
(
a
)
=
{
b
∈
Proj
R
|
b
⊄
a
}
⊂
Proj
R
{\displaystyle U({\mathfrak {a}})=\{{\mathfrak {b}}\in \operatorname {Proj} R|b\not \subset {\mathfrak {a}}\}\subset \operatorname {Proj} R}
이다. 이들은 위상 공간 의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
가환환 값의 층
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
환 달린 공간 으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합
U
{\displaystyle U}
O
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}
f
:
O
(
U
)
→
⋃
p
∈
U
R
p
{\displaystyle f\colon {\mathcal {O}}(U)\to \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}}
이 이루는 가환환 이다. 여기서
S
⊂
R
∖
p
{\displaystyle S\subset R\setminus {\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
R
(
p
)
{\displaystyle R_{({\mathfrak {p}})}}
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
국소화 이다. 모든
p
∈
U
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U}
f
(
p
)
∈
R
(
p
)
{\displaystyle f({\mathfrak {p}})\in R_{({\mathfrak {p}})}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
근방
p
∈
V
⊂
U
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in V\subset U}
q
∈
V
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\in V}
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
f
(
q
)
=
r
/
s
{\displaystyle f({\mathfrak {q}})=r/s}
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
r
,
s
∈
R
i
{\displaystyle r,s\in R_{i}}
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
s
∉
q
{\displaystyle s\not \in {\mathfrak {q}}}
이렇게 층을 주면,
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
스킴 의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.
등급환
R
{\displaystyle R}
등급 가군
M
{\displaystyle M}
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
가군층
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
열린집합
U
{\displaystyle U}
O
M
~
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {M}}(U)}
f
:
O
M
~
(
U
)
→
⋃
p
∈
U
M
p
{\displaystyle f\colon {\mathcal {O}}_{\tilde {M}}(U)\to \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}}
이 이루는 가환환 이다. 여기서
S
⊂
R
∖
p
{\displaystyle S\subset R\setminus {\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
M
(
p
)
{\displaystyle M_{({\mathfrak {p}})}}
M
{\displaystyle M}
S
{\displaystyle S}
국소화 이다. 모든
p
∈
U
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U}
f
(
p
)
∈
M
(
p
)
{\displaystyle f({\mathfrak {p}})\in M_{({\mathfrak {p}})}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
근방
p
∈
V
⊂
U
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in V\subset U}
q
∈
V
{\displaystyle {\mathfrak {q}}\in V}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
s
∈
R
{\displaystyle s\in R}
f
(
q
)
=
m
/
s
{\displaystyle f({\mathfrak {q}})=m/s}
m
{\displaystyle m}
s
{\displaystyle s}
m
∈
M
i
{\displaystyle m\in M_{i}}
s
∈
R
i
{\displaystyle s\in R_{i}}
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
s
∉
q
{\displaystyle s\not \in {\mathfrak {q}}}
특히,
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
등급 가군 으로 간주하면,
R
~
{\displaystyle {\tilde {R}}}
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
임의의 등급 가군
M
=
⨁
i
M
i
{\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i}M_{i}}
l
∈
Z
{\displaystyle l\in \mathbb {Z} }
뒤틀림 (twist)
M
(
l
)
{\displaystyle M(l)}
M
(
l
)
i
=
M
i
+
l
{\displaystyle M(l)_{i}=M_{i+l}}
인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히
l
{\displaystyle l}
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
뒤틀림
M
~
(
l
)
{\displaystyle {\tilde {M}}(l)}
R
~
=
O
{\displaystyle {\tilde {R}}={\mathcal {O}}}
O
(
1
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
세르 뒤틀림 층 (영어 : Serre twisting sheaf )이라고 한다. 이는 항상 가역층 이며, 장피에르 세르 의 이름을 딴 것이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
스킴
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
준연접층 들의 족
(
S
i
)
i
∈
N
{\displaystyle ({\mathcal {S}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
S
=
⨁
i
∈
N
S
i
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {S}}_{i}}
각 열린집합
U
∈
Open
(
X
)
{\displaystyle U\in \operatorname {Open} (X)}
⨁
i
∈
N
Γ
(
U
,
S
i
)
{\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }\Gamma (U,{\mathcal {S}}_{i})}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
등급
O
X
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}
결합 대수 구조 그렇다면, 각 아핀 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
스킴 을 정의하자.
Y
U
=
Proj
Γ
(
U
,
S
)
{\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} \Gamma (U,{\mathcal {S}})}
이제, 자연스러운 스킴 사상
π
U
:
Y
U
→
U
{\displaystyle \pi _{U}\colon Y_{U}\to U}
이 존재한다. (이는
Γ
(
U
,
S
)
{\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {S}})}
O
X
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}
등급 대수 이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해
π
U
{\displaystyle \pi _{U}}
대역적 사영 스펙트럼 (大譯的射影spectrum영어 : global projective spectrum ) 또는 상대 사영 스펙트럼 (相對射影spectrum, 영어 : relative projective spectrum )
P
r
o
j
_
S
{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} {\mathcal {S}}}
준연접층 조건이 필요하다.)
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} R}
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
p
∈
Proj
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} R}
줄기
O
p
=
R
(
p
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}=R_{({\mathfrak {p}})}}
[ 1] :76
R
(
p
)
{\displaystyle R_{({\mathfrak {p}})}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
국소화 다. 이러한 환은 항상 국소환 이다.
아핀 스펙트럼 은 가환환 의 범주의 반대 범주 에서 스킴의 범주로 가는 함자 를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상 을 정의할 필요가 없다.
다만, 가환 등급환
R
{\displaystyle R}
동차 아이디얼
i
{\displaystyle {\mathfrak {i}}}
R
→
R
/
i
{\displaystyle R\to R/{\mathfrak {i}}}
사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입
Proj
R
i
→
Proj
R
{\displaystyle \operatorname {Proj} {\frac {R}{\mathfrak {i}}}\to \operatorname {Proj} R}
을 정의한다.[ 2] :100, §Ⅲ.2.2
아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼 은 서로 다른 닫힌 부분 스킴 에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴 에 대응될 수 있다.[ 2] :100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15
K
{\displaystyle K}
사영 공간
Proj
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
i
{\displaystyle {\mathfrak {i}}}
i
{\displaystyle {\mathfrak {i}}}
∑
n
≥
N
i
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq N}{\mathfrak {i}}_{n}}
닫힌 부분 스킴 을 정의한다 (
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
자연수 ).
임의의 (단위원을 가진) 가환환
R
{\displaystyle R}
등급환 으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환
R
≅
R
[
]
{\displaystyle R\cong R[]}
사영 공간
P
R
0
{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{0}}
공집합 이다. 이는 무관 아이디얼 이 영 아이디얼
R
+
=
(
0
)
{\displaystyle R_{+}=(0)}
보다 일반적으로, 등급환
R
=
⨁
i
∈
N
R
i
{\displaystyle \textstyle R=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }R_{i}}
동치 이다.[ 1] :80
사영 스펙트럼이 공집합 이다. 즉,
Proj
R
=
∅
{\displaystyle \operatorname {Proj} R=\varnothing }
R
+
⊆
(
0
)
{\displaystyle \textstyle R_{+}\subseteq {\sqrt {(0)}}}
R
+
{\displaystyle R_{+}}
멱영원 이다.
K
{\displaystyle K}
가환환 이라고 하자. 그렇다면
K
{\displaystyle K}
n 차원 사영 공간
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}
등급환
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}
[ 1] :77
사영 공간
P
K
n
=
Proj
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}
O
(
1
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
동차다항식
∑
i
c
i
x
i
{\displaystyle \sum _{i}c_{i}x_{i}}
의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층 이고, 그 역은 사영 공간 의 표준 선다발 이다.
특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼 과 같다. 즉, 임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
Proj
K
[
x
]
=
Spec
K
{\displaystyle \operatorname {Proj} K[x]=\operatorname {Spec} K}
이다.
편집
다음이 주어졌다고 하자.
스킴
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
준연접층
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
그렇다면, 대칭 대수 의 층
S
y
m
_
O
X
(
E
)
:
U
↦
Sym
O
X
(
U
)
Γ
(
U
,
E
)
{\displaystyle \operatorname {\underline {Sym}} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}})\colon U\mapsto \operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}(U)}\Gamma (U,{\mathcal {E}})}
및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼
P
r
o
j
_
(
S
y
m
_
O
X
(
E
)
)
=
P
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} \left(\operatorname {\underline {Sym}} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}})\right)=\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
를 정의할 수 있다.
특히, 만약 추가로
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
유한 생성 가군층 일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입
ι
{\displaystyle \iota }
Y
→
ι
P
(
E
)
→
X
{\displaystyle Y{\xrightarrow {\iota }}\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}
의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상
Y
→
X
{\displaystyle Y\to X}
사영 사상 (射影寫像, 영어 : projective morphism )이라고 한다.
![{\displaystyle \operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddafee24c949202389f9b2401cf1057b78eee93)
![{\displaystyle R\cong R[]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6704314ac53ac75927cafc5c5f2d2dd20d073b73)
이 부분의 본문은 사영 공간입니다.
![{\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a9dcac89f7f7828037d08a65e0467091e28424)
![{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d788d8ec1cea0ef25a6d93cc9cdd350a3bebf3ab)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} K[x]=\operatorname {Spec} K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa31460b2cb6c27741ef823819000ebf86c2d53c)
