세르 쌍대성

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대수기하학에서 세르 쌍대성(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의편집

미분기하학편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호지 쌍대에 따라서

 
 

가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서

 
 

이 존재한다. 이는 실수 선형 변환이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다.

 

이제,

 
 

를 정의하자. 이는   위의 에르미트 형식을 정의한다.

 
 

이는 일반적으로 양의 정부호가 아니지만, 돌보 코호몰로지로의 몫을 취하면 이는 양의 정부호가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형

 

이 존재한다. 이를 세르 쌍대성이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.

  •   위의 유한 차원 정칙 벡터 다발  

그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발  을 정의할 수 있다.

이 경우, 마찬가지로

 
 

가 존재한다. 여기서

 

 표준 선다발이다.

이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 마찬가지로 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상

 

이 존재한다. 이를   계수의 세르 쌍대성이라고 한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류  에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발  에 대하여 축약시켜 얻는다.

대수기하학편집

더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.

  • 대수적으로 닫힌 체  
  •   위의 순수하게  차원 사영 스킴  
  •  의 사영 공간으로의 매장  . 그 여차원이  이라고 하자.

그렇다면,  쌍대화층(영어: dualizing sheaf)

 

을 정의할 수 있다.

이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.

 

여기서  쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다.

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리만 곡면편집

 가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고,  이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우

 

이며, 세르 쌍대성에 따라서

 
 

이다. 여기서   표준 선다발이다.

칼라비-야우 다양체편집

칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

 

여기서  호지 수이다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

외부 링크편집