셀베르그 클래스

수학에서 셀베르그 클래스(Selberg Class)인 클래스 S 는 L-함수의 클래스에 대한 자명한 공리적 정의이다.

이 클래스의 멤버는 일반적으로 L-함수 또는 제타 함수 라고하는 이러한 계열의 대부분의 함수가 만족하는 필수 속성을 포착하는 것처럼 보이는 네 가지 공리를 따르는 디리클레 시리즈(디리클레 수열)이다. 클래스의 정확한 성질은 아직 추측단계이지만, 클래스의 정의는 보형 형식리만 가설(Riemann thery) 과의 관계에 대한 통찰력을 포함하여, 클래스의 분류와 속성의 이해로 이어질 것이라는 기능성을 가지고 있다. 이 클래스는 아틀레 셀베르그 ( Selberg 1992 )[1] 에 의해 정의되었는데, 그는 나중에 "자명한(axiomatic)"이라는 단어를 사용하지 않기를 바랬다.


클래스 S 의 정의는 일반적으로 디리클레 시리즈 표현이다.

따라서,클래스 S 는 모든 디리클레 시리즈 의 집합이다.

셀베르그의 추측편집

셀베르그( Selberg 1992 )는 클래스 의 기능에 관한 추측을했다.

  • 추측 1 :  의 모든   에 대해,
 
  가 원시 일 때  이다.
  • 추측 2 : 명료한 프리미티브(원시)  에 대해 ,
 
  • 추측 3 :   가 원시 인수 분해로   에 있으면
 에서,

 는 원시 디리클레 캐릭터(디리클레 지표)이며, 함수

 

또한   에있는 경우, 함수   의 원시 요소이다. (결과적으로   의 원시 인수 분해를 형성한다)

  에 대한 리만 가설 :  의 모든  에 대해   의 중요하지 않은  은 모두 의 선상에있다.

추측의 결과

추측 1과 2는 F 가 s = 1에서 차수 m 의 극을 갖는다면, F ( s ) / ζ ( s ) m 이 전체라는 것을 의미한다. 특히 그들은 데데 킨트 (Dedekind)의 추측을 암시한다.[2]

램 머티(Ram Murty 1994)는 추측 1과 2가 아르틴 추측(알틴 추측)임을 암시한다. 합리적으로 풀릴 수있는 확장된 갈루아 그룹(갈루아 군)의 환원 불가능한 표현에 해당하는 아르틴 L-함수(Artin L -functions)는 랭글랜즈 추측에 의해 예측된 것처럼 보형 형식, 자기동형임을 보여 주었다 .[3]

  의 함수는 또한 소수 정리의 아날로그를 만족시킨다.   에서  (영점)을 갖지 않는다. 앞서 언급 한 것처럼 추측 1과 2는   함수가 원시 함수 이고, 또 다른 결과는   의 원시는  과 동일하다는 것이다.[4]

같이 보기편집

각주편집

  1. The title of Selberg's paper is somewhat a spoof on Paul Erdős, who had many papers named (approximately) "(Some) Old and new problems and results about...". Indeed, the 1989 Amalfi conference was quite surprising in that both Selberg and Erdős were present, with the story being that Selberg did not know that Erdős was to attend.
  2. A celebrated conjecture of Dedekind asserts that for any finite algebraic extension   of  , the zeta function   is divisible by the Riemann zeta function  . That is, the quotient   is entire. More generally, Dedekind conjectures that if   is a finite extension of  , then   should be entire. This conjecture is still open.
  3. Murty 1994, Theorem 4.3
  4. Conrey & Ghosh 1993, § 4