수학 에서 멱급수 (冪級數, 영어 : power series ) 또는 거듭제곱 급수 는 주어진 변수 를 거듭제곱한 항들의 무한급수 (무한차 다항식 )이자 중심이 같은 일련의 멱함수 들을 항으로 하는 무한 급수 이다.
체
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
실수체 또는 복소수체 라고 하자.
주어진
x
0
∈
K
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {K} }
중심
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(中心-冪級數, 영어 : power series with respect to the center
x
0
{\displaystyle x_{0}}
)는 다음과 같은 꼴의 급수 로 정의된다.[1] :38, §2.4
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }
여기서
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} }
이다. 특히, 중심이 0인 멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }
는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는
x
∈
K
{\displaystyle x\in \mathbb {K} }
{
x
∈
K
:
∃
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {K} \colon \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}}
을 이 멱급수의 수렴 영역 (收斂領域, 영어 : domain of convergence )이라고 한다.[2] :153 수렴 구간 (收斂區間, 영어 : interval of convergence )이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 수렴 원판 (收斂圓板, 영어 : disc of convergence )이라고 하기도 한다.
r
=
sup
{
|
x
−
x
0
|
:
x
∈
K
∧
∃
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
}
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle r=\sup \left\{|x-x_{0}|\colon x\in \mathbb {K} \land \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}\in [0,\infty ]}
를 이 멱급수의 수렴 반지름 (收斂半-, 영어 : radius of convergence )이라고 한다.
사칙연산
편집
중심이 같은 두 멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
(
x
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
x
0
)
n
(
b
0
,
b
1
,
b
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (b_{0},b_{1},b_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
의 수렴 반지름이
0
<
r
,
r
′
≤
∞
{\displaystyle 0<r,r'\leq \infty }
형식적 멱급수 로서의 합, 차, 곱
∑
n
=
0
∞
(
a
n
+
b
n
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}
∑
n
=
0
∞
(
a
n
−
b
n
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})(x-x_{0})^{n}}
∑
n
=
0
∞
(
∑
k
=
0
n
a
n
−
k
b
k
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}\right)(x-x_{0})^{n}}
의 수렴 반지름은 모두
[
min
{
r
,
r
′
}
,
∞
]
{\displaystyle \left[\min\{r,r'\},\infty \right]}
에 속하며,
r
≠
r
′
{\displaystyle r\neq r'}
min
{
r
,
r
′
}
{\displaystyle \min\{r,r'\}}
[3] :60, §II.3, Theorem 3.1
b
0
≠
0
{\displaystyle b_{0}\neq 0}
∑
n
=
0
∞
c
n
(
x
−
x
0
)
n
(
c
0
=
a
0
b
0
,
c
1
=
a
0
−
b
1
c
0
b
0
,
c
2
=
a
0
−
b
1
c
1
−
b
2
c
0
b
0
,
…
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad \left(c_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}},\;c_{1}={\frac {a_{0}-b_{1}c_{0}}{b_{0}}},\;c_{2}={\frac {a_{0}-b_{1}c_{1}-b_{2}c_{0}}{b_{0}}},\;\dots \right)}
의 수렴 반지름은
[
r
″
,
∞
]
{\displaystyle [r'',\infty ]}
에 속한다. 여기서
r
″
=
inf
(
{
r
,
r
′
}
∪
{
|
x
−
x
0
|
:
|
x
−
x
0
|
<
r
′
∧
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
x
0
)
n
=
0
}
)
{\displaystyle r''=\inf \left(\{r,r'\}\cup \left\{|x-x_{0}|\colon |x-x_{0}|<r'\land \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}=0\right\}\right)}
이다. 특히,
0
<
r
″
≤
∞
{\displaystyle 0<r''\leq \infty }
두 멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
(
x
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
a
0
)
n
(
b
0
,
b
1
,
b
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a_{0})^{n}\qquad (b_{0},b_{1},b_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
의 수렴 반지름이
0
<
r
,
r
′
≤
∞
{\displaystyle 0<r,r'\leq \infty }
∑
n
=
0
∞
(
∑
k
=
0
∞
a
k
∑
j
1
,
j
2
,
…
,
j
k
≥
1
j
1
+
j
2
+
⋯
+
j
k
=
n
b
j
1
b
j
2
⋯
b
j
k
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\sum _{j_{1},j_{2},\dotsc ,j_{k}\geq 1}^{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}\right)(x-x_{0})^{n}}
의 수렴 반지름은
[
r
″
,
∞
]
{\displaystyle [r'',\infty ]}
에 속한다. 여기서
r
″
=
sup
{
0
<
s
<
r
:
∀
x
∈
ball
K
(
x
0
,
s
)
:
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
∈
ball
K
(
a
0
,
r
′
)
}
{\displaystyle r''=\sup \left\{0<s<r\colon \forall x\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},s)\colon \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(a_{0},r')\right\}}
이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성 으로 수렴한다.
멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
(
x
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
의 수렴 반지름이
0
<
r
≤
∞
{\displaystyle 0<r\leq \infty }
∑
n
=
1
∞
n
a
n
(
x
−
x
0
)
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(x-x_{0})^{n-1}}
의 수렴 반지름은 역시
r
{\displaystyle r}
[1] :38, §2.4, Theorem 2, (iii)
ball
K
(
x
0
,
r
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)}
ξ
∈
∂
ball
K
(
x
0
,
r
)
{\displaystyle \xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)}
ξ
{\displaystyle \xi }
[4] :221, §11.2
중심의 변경
편집
멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
(
x
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
의 수렴 반지름이
0
<
r
≤
∞
{\displaystyle 0<r\leq \infty }
x
1
∈
ball
K
(
x
0
,
r
)
{\displaystyle x_{1}\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
∑
n
=
0
∞
(
∑
k
=
n
∞
(
k
n
)
a
k
(
x
1
−
x
0
)
k
−
n
)
(
x
−
x
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=n}^{\infty }{\binom {k}{n}}a_{k}(x_{1}-x_{0})^{k-n}\right)(x-x_{1})^{n}}
의 수렴 반지름은
[
r
−
|
x
1
−
x
0
|
,
r
+
|
x
1
−
x
0
|
]
{\displaystyle [r-|x_{1}-x_{0}|,r+|x_{1}-x_{0}|]}
에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.[3] :69-70, §II.4
수렴 반지름
편집
멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
(
x
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
의 수렴 반지름을
r
{\displaystyle r}
열린 공
ball
K
(
x
0
,
r
)
=
{
x
∈
K
:
|
x
−
x
0
|
<
r
}
{\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)=\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|<r\}}
에서 절대 수렴 하고 콤팩트 수렴 하며,
{
x
∈
K
:
|
x
−
x
0
|
>
r
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|>r\}}
의 모든 점에서 발산한다.[1] :38, §2.4, Theorem 2, (i)(ii)
r
=
0
{\displaystyle r=0}
{
x
0
}
{\displaystyle \{x_{0}\}}
r
=
∞
{\displaystyle r=\infty }
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
0
<
r
<
∞
{\displaystyle 0<r<\infty }
경계
∂
ball
K
(
x
0
,
r
)
=
{
x
∈
K
:
|
x
−
x
0
|
=
r
}
{\displaystyle \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)=\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|=r\}}
의 점에서 멱급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 또한, 만약 멱급수가 수렴 영역의 경계점
ξ
∈
∂
ball
K
(
x
0
,
r
)
{\displaystyle \xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)}
{
(
1
−
t
)
x
0
+
t
ξ
:
t
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \{(1-t)x_{0}+t\xi \colon t\in [0,1]\}}
에서 균등 수렴 한다. 특히, 실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다.
코시-아다마르 정리
r
{\displaystyle r}
[1] :38-39, §2.4
1
r
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
n
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}
아벨 극한 정리
편집
멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
(
x
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )}
의 수렴 반지름이
0
<
r
<
∞
{\displaystyle 0<r<\infty }
ξ
∈
∂
ball
K
(
x
0
,
r
)
{\displaystyle \xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)}
아벨 극한 정리
0
<
K
<
∞
{\displaystyle 0<K<\infty }
lim
x
→
ξ
|
x
−
x
0
|
<
r
|
ξ
−
x
|
≤
K
(
|
ξ
−
x
0
|
−
|
x
−
x
0
|
)
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
ξ
−
x
0
)
n
{\displaystyle \lim _{{x\to \xi } \atop {{|x-x_{0}|<r} \atop {|\xi -x|\leq K(|\xi -x_{0}|-|x-x_{0}|)}}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\xi -x_{0})^{n}}
이다.[1] :41, §2.5, Theorem 3
lim
t
→
1
−
∑
n
=
0
∞
a
n
(
t
(
ξ
−
x
0
)
)
n
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
ξ
−
x
0
)
n
{\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t(\xi -x_{0}))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\xi -x_{0})^{n}}
이 성립한다. 이에 따라, 실수 멱급수는 (수렴하는 경계점을 포함한) 수렴 영역 전체에서 연속 함수 이며, 복소수 멱급수는 수렴하는 경계점 수렴 영역 내부 의 다른 두 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 닫힌 삼각형에서 연속 함수이다.
해석 함수와의 관계
편집
열린집합 의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 해석 함수 라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
미분 가능 함수 의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 정칙 함수 라고도 한다. 그러나 만약
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
연결 열린집합
D
⊆
K
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {K} }
f
:
D
→
K
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {K} }
ball
K
(
x
0
,
r
)
⊆
D
{\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)\subseteq D}
테일러 급수
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
(
x
∈
ball
K
(
x
0
,
r
)
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\qquad (x\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r))}
로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름
r
′
{\displaystyle r'}
inf
x
∈
∂
D
|
x
−
x
0
|
<
r
′
≤
∞
{\displaystyle \inf _{x\in \partial D}|x-x_{0}|<r'\leq \infty }
를 만족시키고,
D
∩
ball
K
(
x
0
,
r
″
)
{\displaystyle D\cap \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')}
inf
x
∈
∂
D
|
x
−
x
0
|
<
r
″
<
r
′
{\displaystyle \inf _{x\in \partial D}|x-x_{0}|<r''<r'}
이 존재한다면,
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
D
{\displaystyle D}
D
∪
ball
K
(
x
0
,
r
″
)
{\displaystyle D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')}
확장 될 수 있다. 즉,
D
∪
ball
K
(
x
0
,
r
″
)
{\displaystyle D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')}
f
{\displaystyle f}
해석적 연속 이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
닫힌 곡선 을 따라 반복하면 일반적으로 다가 함수 를 얻는다. (이 과정을 닫힌 곡선을 따라 반복하려면,
D
∪
ball
K
(
x
0
,
r
″
)
{\displaystyle D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')}
ball
K
(
x
0
,
r
″
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')}
모노드로미 정리 에서 제시된다.
복소수 멱급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
z
0
)
n
(
z
0
,
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
C
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (z_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {C} )}
의 수렴 반지름이
0
<
r
<
∞
{\displaystyle 0<r<\infty }
특이 경계점을 갖는다. 즉,
ball
C
(
z
0
,
r
)
∪
{
ζ
}
{\displaystyle \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(z_{0},r)\cup \{\zeta \}}
근방 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는
ζ
∈
∂
ball
C
(
z
0
,
r
)
{\displaystyle \zeta \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(z_{0},r)}
[5] :320, Theorem 16.2
상미분 방정식의 풀이
편집
위의 식을 이용해 다음의 미분 방정식 을 풀 수 있다.
y
″
+
p
(
x
)
y
′
+
q
(
x
)
y
=
r
(
x
)
{\displaystyle y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=r\left(x\right)}
를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단,
p
(
x
)
,
q
(
x
)
,
r
(
x
)
{\displaystyle p\left(x\right),q\left(x\right),r\left(x\right)}
x
=
x
o
{\displaystyle x=x_{o}}
참고 문헌
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Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2 외부 링크
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![{\displaystyle r=\sup \left\{|x-x_{0}|\colon x\in \mathbb {K} \land \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84248f1521e8bc31917b18c3d215e92a5dd1bef)
![{\displaystyle \left[\min\{r,r'\},\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa28382e4b3a85328f3803d00050c43086a1f3e0)
![{\displaystyle [r'',\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f25d3ab14dbc93b994e53927d75f4b2f1de400)
![{\displaystyle [r-|x_{1}-x_{0}|,r+|x_{1}-x_{0}|]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d331ed833925f4dd410b90a6e29a97dd857ef1)
![{\displaystyle \{(1-t)x_{0}+t\xi \colon t\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a712aaa1f45c536f399a3368c88cd883165ae3bc)
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547bb7742e792efd900d17da65f3a62d99456c04)
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