대수적 수론 에서 대수적 수체 (代數的數體, 영어 : algebraic number field ), 줄여서 수체 (數體, 영어 : number field )는 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 유한 확대 이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체 이다.
대수적 수체 K {\displaystyle K} 는 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 의 유한 확대 이다. 이는 대역체 의 한 종류이다.
오스트롭스키 정리 (Островский定理, 영어 : Ostrowski’s theorem )에 따르면, 수체 K {\displaystyle K} 위의 자명하지 않은 자리 들은 다음과 같다.
실수로의 매장 ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대하여, | ⋅ | ι = | ⋅ | R ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota } . 여기서 | ⋅ | R {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }} 는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실수 무한 자리 (實數無限-, 영어 : real infinite place )라고 한다.
복소수로의 매장 ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } 에 대하여 (ι ( K ) ⊄ R {\displaystyle \iota (K)\not \subset \mathbb {R} } ), | ⋅ | ι = | ⋅ | C ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota } . 여기서 | ⋅ | C {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }} 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, ι {\displaystyle \iota } 와 ι ¯ {\displaystyle {\bar {\iota }}} 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소수 무한 자리 (複素數無限-, 영어 : complex infinite place )라고 한다.
대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 에 대하여, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리 (有限-, 영어 : finite place )라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체 의 대수적 폐포 Q ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 로의 매장과 대응한다. 즉, p ∣ ( p ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid (p)} 라면, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 진 자리는 매장 K ↪ Q ¯ p {\displaystyle K\hookrightarrow {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 을 정의하며, 절대 갈루아 군 Gal ( Q ¯ p / Q p ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})} 의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다. 예를 들어, 유리수체 의 자리의 목록은 다음과 같다.
자명 자리 | ⋅ | 0 {\displaystyle |\cdot |_{0}}
소수 p {\displaystyle p} 에 대하여, p {\displaystyle p} 진 자리 | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}}
하나의 실 무한 자리 | ⋅ | ∞ {\displaystyle |\cdot |_{\infty }} 수체 K {\displaystyle K} 에서, 실수 자리의 수를 r 1 {\displaystyle r_{1}} , 복소수 자리의 수를 r 2 {\displaystyle r_{2}} 라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.
[ K : Q ] = r 1 + 2 r 2 {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}} 이는 K {\displaystyle K} 에서 복소수체로 가는 체의 확대 의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레 를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)
대수적 수체 K {\displaystyle K} 는 대역체 이므로, 다음과 같은 곱 공식 (영어 : product formula )이 성립한다.[1] :185, Proposition III.1.3
∏ v | a | v = 1 , ∀ a ∈ K × {\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,\forall a\in K^{\times }} 여기서 ∏ v {\displaystyle \textstyle \prod _{v}} 는 K {\displaystyle K} 의 모든 자리에 대한 곱이며, | − | v {\displaystyle |-|_{v}} 는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
a = s ∏ p p n p , s ∈ { ± 1 } {\displaystyle a=s\prod _{p}p^{n_{p}},\;s\in \{\pm 1\}} 의 경우
| a | ∞ = ∏ p p n p {\displaystyle |a|_{\infty }=\prod _{p}p^{n_{p}}}
| a | p = p − n p {\displaystyle |a|_{p}=p^{-n_{p}}} 이므로
| a | ∞ | a | 2 | a | 3 ⋯ = ∏ p p n p ⋅ ∏ p p − n p = 1 {\displaystyle |a|_{\infty }|a|_{2}|a|_{3}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{-n_{p}}=1} 이다.
수체의 대수적 성질
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가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합 이다.
모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.
정의에 따라 유한 확대 이며, 따라서 대수적 확대 이다. 그 차수는 r 1 + 2 r 2 {\displaystyle r_{1}+2r_{2}} 와 같다 (r 1 {\displaystyle r_{1}} 은 실수 자리의 수, r 2 {\displaystyle r_{2}} 는 복소수 자리의 수).
유리수체의 표수 는 0이므로, 분해 가능 확대 이다. 그러나 정규 확대 (즉, 갈루아 확대 )가 아닌 수체가 존재한다.
대수적 수체 K {\displaystyle K} 에 이산 위상 을 주면, 그 덧셈군은 위상군 을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} 는 다음과 같은 아델 환 의 몫이다.
K ^ ≅ A K / K {\displaystyle {\hat {K}}\cong \mathbb {A} _{K}/K} 대수적 정수환의 덧셈 구조
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대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 (代數的整數環, 영어 : ring of algebraic integers ) O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 는 Z ⊂ K {\displaystyle \mathbb {Z} \subset K} 의, K {\displaystyle K} 속에서의 정수적 원소 들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
O K = { a ∈ K : ∃ p ( x ) ∈ Z [ x ] : p is monic; p ( a ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon \exists p(x)\in \mathbb {Z} [x]\colon p{\mbox{ is monic; }}p(a)=0\}} 이는 K {\displaystyle K} 의 부분환 을 이룬다.
대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합 과 같다.[2] :192
모든 대수적 수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 은 크룰 차원 이 1인 데데킨트 정역 이다. 즉, 다음이 성립한다.
대수기하학 적 관점에서는 그 스펙트럼 을 취해 1차원 아핀 스킴 으로 여길 수 있다.
모든 대수적 수체 K {\displaystyle K} 에서, 다음이 성립한다.
O K ∩ Q = Z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} }
K = Frac O K {\displaystyle K=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}} 여기서 Frac {\displaystyle \operatorname {Frac} } 은 분수체 를 뜻한다.
정수 기저
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대수적 수체의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군 이며, 그 계수는 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 의 차수와 같다.
rank O K = [ K : Q ] = r 1 ( K ) + 2 r 2 ( K ) {\displaystyle \operatorname {rank} {\mathcal {O}}_{K}=[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}(K)+2r_{2}(K)} 차수 n 의 수체 K {\displaystyle K} 의 정수 기저 (영어 : integral basis )는 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 { b 1 , … , b n } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} 이다. 따라서 K {\displaystyle K} 의 모든 대수적 정수들을
∑ i = 1 n k i b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}b_{i}} (k i ∈ Z {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} } )로 유일하게 나타낼 수 있고, K {\displaystyle K} 의 모든 원소들을
∑ i = 1 n r i b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}b_{i}} (r i ∈ Q {\displaystyle r_{i}\in \mathbb {Q} } )의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
일부 수체의 경우, 정수 기저가
b i = b 1 i , ∀ i = 1 , … , r 1 + 2 r 2 {\displaystyle b_{i}=b_{1}^{i},\forall i=1,\dots ,r_{1}+2r_{2}} 가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 거듭제곱 정수 기저 (영어 : power integral basis )라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 단일생성체 (영어 : monogenic field )라고 한다. 모든 이차 수체 와 원분체 는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.
정칙 표현
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n {\displaystyle n} 차 수체 K {\displaystyle K} 의 정수 기저 v 1 , … , v n ⊂ O K {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\subset {\mathcal {O}}_{K}} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
x v i = ∑ a i j v j . {\displaystyle xv_{i}=\sum a_{ij}v_{j}.} 따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬
X = ( a i j ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle X=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}} 로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1 , ..., vn 에 대한 정칙 표현 (正則表現, 영어 : regular representation )이라 한다. 행렬의 대각합 이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량 은 x {\displaystyle x} 가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.
X {\displaystyle X} 의 고유 다항식
det ( λ − X ) = λ n + c 1 λ n − 1 + ⋯ + c n {\displaystyle \det(\lambda -X)=\lambda ^{n}+c_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{n}} 은 x {\displaystyle x} 를 근으로 갖는 일계수 다항식 이다. 이 경우, X {\displaystyle X} 의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.
tr X = − c 1 {\displaystyle \operatorname {tr} X=-c_{1}}
det X = ( − 1 ) n c n {\displaystyle \det X=(-1)^{n}c_{n}} 이 경우, X {\displaystyle X} 의 대각합은 T K / Q ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)} 로 쓰고, x {\displaystyle x} 의 대각합 이라고 한다. 마찬가지로, X {\displaystyle X} 의 행렬식은 N K / Q ( x ) {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)} 로 쓰고, x {\displaystyle x} 의 노름 이라 한다.
대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.
(대각합의 선형성) T K / Q ( a x + b y ) = a T K / Q ( x ) + b T K / Q ( y ) ∀ x , y ∈ K , a , b ∈ Q {\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(ax+by)=a\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)+b\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a,b\in \mathbb {Q} }
(노름의 승법성) N K / Q ( a x y ) = a n N K / Q ( x ) N K / Q ( y ) ∀ x , y ∈ K , a ∈ Q {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(axy)=a^{n}\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a\in \mathbb {Q} }
수체의 판별식 (判別式, 영어 : discriminant )은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
수체 K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 정수 기저 { b 1 , … , b r } ⊂ O K {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{r}\}\subset O_{K}} 를 고르자 (r = r 1 + 2 r 2 {\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}} ). K {\displaystyle K} 의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
σ 1 R , … , σ r 1 R : K ↪ R {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }
σ 1 C , … , σ r 2 C : K ↪ C {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 그렇다면 다음과 같은 r × r {\displaystyle r\times r} 정사각 행렬 을 정의할 수 있다.
M = ( σ 1 R ( b 1 ) ⋯ σ r 1 R ( b 1 ) σ 1 C ( b 1 ) ⋯ σ r 2 C ( b 1 ) σ ¯ 1 ( b 1 ) ⋯ σ ¯ r 2 ( b 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ σ 1 R ( b r ) ⋯ σ r 1 R ( b r ) σ 1 C ( b r ) ⋯ σ r 2 C ( b r ) σ ¯ 1 ( b r ) ⋯ σ ¯ r 2 ( b r ) ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{1})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{1})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{1})\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{r})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{r})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{r})\\\end{pmatrix}}} 이 행렬의 행렬식 의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 K {\displaystyle K} 의 판별식 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 라고 한다.
Δ K = ( det M ) 2 {\displaystyle \Delta _{K}=(\det M)^{2}} 수체의 판별식 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 는 다음과 같은 성질을 가진다.
브릴 정리 (영어 : Brill’s theorem ): 수체의 판별식의 부호는 sgn Δ K = ( − 1 ) r 2 ( K ) {\displaystyle \operatorname {sgn} \Delta _{K}=(-1)^{r_{2}(K)}} 이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
슈티켈베르거 정리 (영어 : Stickelberger’s theorem ): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.
Δ K ≡ 0 , 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0,1{\pmod {4}}}
민코프스키 하한 (영어 : Minkowski’s bound ): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 r = r 1 + 2 r 2 = [ K : Q ] {\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}=[K:\mathbb {Q} ]} 이다.
| Δ K | ≥ r r r ! ( π 4 ) r 2 {\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}\geq {\frac {r^{r}}{r!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}}
민코프스키 정리 (영어 : Minkowski’s theorem ): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값 은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
| Δ K | ≥ 2 ( K ≠ Q ) {\displaystyle |\Delta _{K}|\geq 2\qquad (K\neq \mathbb {Q} )}
에르미트-민코프스키 정리 (영어 : Hermite–Minkowski theorem ): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다. 대수적 정수환의 곱셈 구조
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디리클레 가역원 정리
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K {\displaystyle K} 에 속한 1의 거듭제곱근 들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군 이며, Tors ( O K × ) {\displaystyle \operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })} 라고 하자. 이는 항상 유한 순환군 이다. 즉, K {\displaystyle K} 에 속한 1의 거듭제곱근 들의 수가 w K {\displaystyle w_{K}} 라고 하면
Tors ( O K × ) = Cyc ( w K ) {\displaystyle \operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })=\operatorname {Cyc} (w_{K})} 이다.디리클레 가역원 정리 (Dirichlet可逆元定理, 영어 : Dirichlet unit theorem )에 따르면, K {\displaystyle K} 의 대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 가역원군 O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} 은 유한 생성 아벨 군 이며, 다음과 같은 꼴이다.
O K × ≅ Cyc ( w k ) ⊕ Z ⊕ ( r 1 + r 2 − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (w_{k})\oplus \mathbb {Z} ^{\oplus (r_{1}+r_{2}-1)}} 즉, 가역원군의 꼬임 부분군 에 대한 몫군 은 유한 생성 자유 아벨 군 이며, 그 계수 는 r 1 + r 2 − 1 {\displaystyle r_{1}+r_{2}-1} 이다. 예를 들어, 다음과 같다.
수체
가역원군
실수 자리 수 r 1 {\displaystyle r_{1}}
복소수 자리 수 r 2 {\displaystyle r_{2}}
가역원군의 크기
차수
Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
{ ± 1 } {\displaystyle \{\pm 1\}}
1
0
0
1
Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} (d {\displaystyle d} 는 양의 무제곱 정수)
2
0
1
2
Q ( − d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} (d {\displaystyle d} 는 양의 무제곱 정수)
0
1
0
2
Q ( i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)} (가우스 정수 )
{ ± 1 , ± i } {\displaystyle \{\pm 1,\pm i\}}
0
1
0
2
Q ( ω ) / ( ω 2 + ω + 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )/(\omega ^{2}+\omega +1)} (아이젠슈타인 정수 )
{ ± 1 , ± ω , ± ω 2 } {\displaystyle \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}}
0
1
0
2
가역원 기준
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수체의 가역원 기준 (可逆元基準, 영어 : regulator 레귤레이터[* ] )은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식 에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
대수적 정수환 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 가역원군 O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} 이 주어졌다고 하자. K {\displaystyle K} 에 속하는 1의 거듭제곱근 들의 순환군 Cyc ( m ) = { 1 , ζ m , ζ m 2 , … } {\displaystyle \operatorname {Cyc} (m)=\{1,\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \}} 에 대한 몫군
O K × / Cyc ( r ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)} 을 생각하자. 이 군의 생성원
O K × / Cyc ( r ) = ⟨ u 1 , … , u r ⟩ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)=\langle u_{1},\dots ,u_{r}\rangle } 을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, r = r 1 ( K ) + r 2 ( K ) − 1 {\displaystyle r=r_{1}(K)+r_{2}(K)-1} 이다 (r 1 ( K ) {\displaystyle r_{1}(K)} 은 실수 자리의 수, r 2 ( K ) {\displaystyle r_{2}(K)} 는 복소수 자리의 수).
K {\displaystyle K} 의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
σ 1 R , … , σ r 1 R : K ↪ R {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }
σ 1 C , … , σ r 2 C : K ↪ C {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 그렇다면 다음과 같은 r × ( r + 1 ) {\displaystyle r\times (r+1)} 행렬을 생각하자.
M = ( ln | σ 1 R ( u 1 ) | ⋯ ln | σ r 1 R ( u 1 ) | 2 ln | σ 1 C ( u 1 ) | ⋯ 2 ln | σ r 2 C ( u 1 ) | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ln | σ 1 R ( u r ) | ⋯ ln | σ r 1 R ( u r ) | 2 ln | σ 1 C ( u r ) | ⋯ 2 ln | σ r 2 C ( u r ) | ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{1})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{1})|\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{r})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{r})|\\\end{pmatrix}}} M {\displaystyle M} 의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름 의 절댓값 은 항상 1이므로) 0이다.
∑ j M i , j = ln | f 1 ( u i ) ⋯ f r 1 ( u i ) g 1 ( u i ) 2 ⋯ g r 2 ( u i ) 2 | = ln | N K / Q ( u i ) | = 0 ∀ i = 1 , … , r {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}=\ln \left|f_{1}(u_{i})\cdots f_{r_{1}}(u_{i})g_{1}(u_{i})^{2}\cdots g_{r_{2}}(u_{i})^{2}\right|=\ln |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(u_{i})|=0\quad \forall i=1,\dots ,r} M {\displaystyle M} 에서 임의의 한 열 M − , j {\displaystyle M_{-,j}} 을 제거한 r × r {\displaystyle r\times r} 정사각 행렬을 M − , j ^ {\displaystyle M_{-,{\hat {j}}}} 라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 det M − , j ^ {\displaystyle \det M_{-,{\hat {j}}}} 는 j {\displaystyle j} 에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 u i {\displaystyle u_{i}} 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 K {\displaystyle K} 의 가역원 기준 Reg K {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}} 라고 한다.
Reg K = det M − , j ^ ∀ j = 1 , … , r + 1 {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}=\det M_{-,{\hat {j}}}\quad \forall j=1,\dots ,r+1} 유일 인수 분해의 실패
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대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역 이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역 이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역 이다.
유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 H K {\displaystyle H_{K}} 및 그 크기인 유수(類數) h K = | H K | {\displaystyle h_{K}=|H_{K}|} 를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군 이며, 유수는 데데킨트 제타 함수 의 유수 (留數)로부터 유수 공식 을 통해 계산할 수 있다.
이 부분의 본문은
분기화 입니다.
대수기하학 적으로, 포함 관계 Z ↪ O K {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}} 는 반대로 스킴 사상 Spec O K ↠ Spec Z {\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간 으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화 (영어 : ramification )가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수 로 생성되는 주 아이디얼 이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼 이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 및 소수 p ∈ Z + {\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}} 가 주어졌을 때, p {\displaystyle p} 로 생성되는 주 아이디얼 은 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 에서 다음과 같이 소 아이디얼 들의 곱으로 인수 분해된다.
( p ) = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p k e k {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}{\mathfrak {p}}_{2}^{e_{2}}\dotsb {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}} 여기서 e i {\displaystyle e_{i}} 를 K {\displaystyle K} 의 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 에서의 분기 지표 (영어 : ramification index )라고 한다.
이 경우, p {\displaystyle p} 는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
만약 e i > 1 {\displaystyle e_{i}>1} 인 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 가 존재한다면, p {\displaystyle p} 는 분기화된다 (영어 : ramified ).
만약 모든 e i = 1 {\displaystyle e_{i}=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 분기화되지 않는다 (영어 : unramified )
만약 k = 1 {\displaystyle k=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 분해되지 않는다 (영어 : unsplit ).
만약 k > 1 {\displaystyle k>1} 이지만 e 1 = e 2 = ⋯ = e k = 1 {\displaystyle e_{1}=e_{2}=\dots =e_{k}=1} 이라면, p {\displaystyle p} 는 (다른 소수들의 곱으로) 분해된다 (영어 : split ). 수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 에서, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
소수 p {\displaystyle p} 는 분기화된다.
O K / ( p ) = ∏ i O K / p i e i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)=\prod _{i}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}} 는 0이 아닌 멱영원 을 갖는다. (중국인의 나머지 정리 )
p ∣ Δ K {\displaystyle p\mid \Delta _{K}} . 여기서 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}} 는 K {\displaystyle K} 의 판별식이다.판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.
대수기하학 적으로, 포함 관계 Z ↪ O K {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}} 는 반대로 스킴 사상 Spec O K ↠ Spec Z {\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간 으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화 (영어 : ramification )가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수 로 생성되는 주 아이디얼 이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼 이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
수체의 기타 불변량
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다음과 같은 예들이 있다.
유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
이차 수체
원분체
Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 는 정규 확대 가 아닌 수체이다. 이는 x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} 의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다.
x 3 − x 2 − 2 x − 8 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8} 의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.유리수체
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유리수 입니다.
유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.
오스트롭스키 정리 (영어 : Ostrowski’s theorem )에 따르면, 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 다음과 같은 자리들을 가진다.
자명한 자리
| x | = { 0 x = 0 1 x ≠ 0 {\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}}
표준 자리 (통상적인 절댓값 )
소수 p 에 대하여, p 진 자리
{ | 0 | = 0 | p n a / b | p = p − n {\displaystyle {\begin{cases}|0|&=0\\|p^{n}a/b|_{p}=p^{-n}\end{cases}}}
(a , b , p {\displaystyle a,b,p} 는 서로소 ) 특히, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.
r 1 ( Q ) = 1 {\displaystyle r_{1}(\mathbb {Q} )=1}
r 2 ( Q ) = 0 {\displaystyle r_{2}(\mathbb {Q} )=0} 유리수체의 대수적 정수환은 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 이며, 이는 주 아이디얼 정역 이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해 가 성립하며, 그 아이디얼 유군 은 자명군 이며, 그 유수는 1이다.
유리수체에서 체 대각합 과 체 노름 은 항등 함수 이다.
T Q / Q ( x ) = N Q / Q ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {T} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=\operatorname {N} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=x} 유리수체의 대수적 정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 의 정수 기저는 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.
Δ Q = ( det ( 1 ) ) 2 = 1 {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} }=\left(\det {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\right)^{2}=1} 유리수체의 대수적 정수환의 가역원군 은 { ± 1 } {\displaystyle \{\pm 1\}} 이며, 이는 1의 거듭제곱근 으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식 이므로) 1이다.
Reg Q = 1 {\displaystyle \operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }=1} 유리수체의 데데킨트 제타 함수 는 리만 제타 함수 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} 이다. 리만 제타 함수의 s = 1 {\displaystyle s=1} 에서의 유수 는 1이며, 이 경우 유수 공식 은 다음과 같이 성립한다.
1 = 2 r 1 ( Q ) ( 2 π ) r 2 ( Q ) h Q Reg Q | Tors ( O Q × ) | | Δ Q | = 2 1 ⋅ ( 2 π ) 0 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ | 1 | = 1 {\displaystyle 1={\frac {2^{r_{1}(\mathbb {Q} )}(2\pi )^{r_{2}(\mathbb {Q} )}h_{\mathbb {Q} }\operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }}{|\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }^{\times })|{\sqrt {|\Delta _{\mathbb {Q} }|}}}}={\frac {2^{1}\cdot (2\pi )^{0}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot {\sqrt {|1|}}}}=1} 이차 수체
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제곱 인수가 없는 정수 d {\displaystyle d} 에 대하여, 이차 수체
Q ( d ) = Q + d Q = Q [ x ] / ( x 2 − d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} +{\sqrt {d}}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-d)} 를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, d {\displaystyle d} 가 양수일 경우 실수 이차 수체 , 음수일 경우 허수 이차 수체 라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수 체 Q ( i ) = Q + i Q = Q [ x ] / ( x 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)=\mathbb {Q} +i\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-1)} 가 있다. 다른 예로, Q ( − 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})} 는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역 이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-}}5)(1-{\sqrt {-}}5)} 이다.
기저를 { 1 , d } {\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}} 로 잡으면, 각 원소
a + b d ∈ Q ( d ) {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} 는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬 로 적을 수 있다.
a + b d ↦ ( a d b b a ) {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}} 이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.
T ( a + b d ) = 2 a {\displaystyle T(a+b{\sqrt {d}})=2a}
N ( a + b d ) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} 이차 수체 의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 d {\displaystyle d} 에 대하여,
Δ Q ( d ) = { d d ≡ 1 ( mod 4 ) 4 d d ≡ 2 , 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}} 이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식 (영어 : fundamental discriminant )이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.
1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … (OEIS 의 수열 A003658 ) 음의 기본 판별식들은 다음과 같다.
−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … (OEIS 의 수열 A003657 )
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원분체 입니다.
원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} 을 추가하여 정의한다.
Q ( ζ n ) = Q [ x ] / ( x n − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})=\mathbb {Q} [x]/(x^{n}-1)} 특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 Q ( ζ 3 ) = Q + Q ( ζ 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} (\zeta _{3})} 가 있다.
n > 2 {\displaystyle n>2} 일 때, 원분체 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 의 판별식은 다음과 같다.
Δ Q ( ζ n ) = ( − 1 ) φ ( n ) / 2 n φ ( n ) ∏ p | n p − φ ( n ) / ( p − 1 ) {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\varphi (n)/2}n^{\varphi (n)}\prod _{p|n}p^{-\varphi (n)/(p-1)}} 여기서
φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 은 오일러 피 함수 이다.
∏ p | n {\displaystyle \prod _{p|n}} 은 n {\displaystyle n} 의 소인수들에 대한 곱이다.대수적 수체가 아닌 확대
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다음과 같은 체의 확대 들은 대수적 수체가 아니다.
Q ( π ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )/\mathbb {Q} } 는 초월 확대 이므로 수체가 아니다.
R / Q {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} } 나 C / Q {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} } 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
Q ( x ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (x)/\mathbb {Q} } 역시 초월 확대 이므로 수체가 아니다.
대수적 수 의 체를 Q ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}} 라고 하자. Q ¯ / Q {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} } 는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다.
C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다. 참고 문헌
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같이 보기
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외부 링크
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