양자역학양자장론에서 순간자(瞬間子, 영어: instanton 인스턴톤[*]) 또는 잠깐알은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다.[1][2][3] 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.

역사 편집

알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨(러시아어: Юрий Степанович Тюпкин)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다.[4] 이들은 유사입자(영어: pseudoparticle)라는 이름을 사용하였다.[1]:271 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(영어: instanton)라고 이름붙였다.[1]:271

양자역학에서의 순간자 편집

양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜  가 두 개의 극소점  를 갖는다고 하고,  으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다.

WKB 근사에 따라, 질량이  이며 에너지가  인 입자가  에서  터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다.

 

이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자.

 

즉, 이는 퍼텐셜   속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)

 

다.  에서  로 가는, 유클리드 작용의 해를 순간자라고 하며, 그 작용은

 

이다. 따라서,

 

임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용  로 계산된다.

양-밀스 이론의 순간자 편집

순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.[5][6]

4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군  를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다.

 

여기서

 

는 게이지 장세기이고,  리 대수  의 기저이다. 리 대수의 기저는

 
 

가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳 에서는  이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜  위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,

  ( )

의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간  의 무한대는  이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수

 

를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군  의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.

 

흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,

  ( )
  (  또는  )

이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 순간자수(영어: instanton number)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(영어: anti-instanton)가 존재함을 뜻한다.  의 경우, 순간자수  는 다음과 같다.

 
 

여기서   의 단위 수직 벡터이며,  는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

4차원 리만 다양체  에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라

 

가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여

 

이므로, 호지 쌍대 연산자  고윳값 이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라

 

으로 분해된다. 여기서  의 원소는 자기쌍대(영어: self-dual),  의 원소는 반자기쌍대(영어: anti-self-dual)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식  가 주어지면,

 
 
 

으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적  이 존재한다.

 

이에 따라 양-밀스 작용은

 

가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.

 

그렇다면

 

이다. 여기서  는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수  를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 BPS 부등식을 만족시킨다.

 

이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 순간자라고 한다. 이들은

  또는  ,

 

를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식

 

을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

참고 문헌 편집

  1. Coleman, Sidney (1985). 〈Uses of Instantons〉. 《Aspects of Symmetry》. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press. 265–350쪽. Bibcode:1988assy.book.....C. doi:10.1017/CBO9780511565045.008. ISBN 9780521267069. 
  2. Rajaraman, R. (1987). 《Solitons and Instantons》. Amsterdam: North Holland. ISBN 0-444-87047-4. 
  3. Weinberg, Erick J. (2012년 10월). 《Classical Solutions in Quantum Field Theory: Solitons and Instantons in High Energy Physics》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139017787. ISBN 978-0-5211-1463-9. 
  4. Belavin, A. A.; A. M. Polyakov, A. S. Schwartz, Yu. S. Tyupkin (1975). “Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations”. 《Physics Letters B》 (영어) 59: 85–87. Bibcode:1975PhLB...59...85B. doi:10.1016/0370-2693(75)90163-X. 
  5. Bogomol’nyi, E. B. (1976). 《Soviet Journal of Nuclear Physics》 24: 449.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
  6. Prasad, M. K.; Charles H. Sommerfield (1975년 9월 22일). “Exact classical solution for the ’t Hooft monopole and the Julia–Zee dyon”. 《Physical Review Letters》 (영어) 35 (12): 760–762. doi:10.1103/PhysRevLett.35.760. ISSN 0031-9007. 

같이 보기 편집

외부 링크 편집