순서체
정의편집
순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.
첫 번째 정의는 다음과 같다. 체 와 전순서 는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.
- 이면 이다.
- 이면 이다.
두 번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합 가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.
- 이면 그리고 이다.
- 인 모든 원소에 대해 이다.
- 이다.
이때 는 의 양수뿔(영어: positive cone)이라고 부른다. 이때 전순서 를 다음과 같이 정의한다.
성질편집
예편집
유리수 · 실수 · 대수적 수 · 계산 가능한 수 · 초실수는 모두 순서체를 이룬다. 초현실수의 모임은 (집합론적 크기 문제를 무시하면) 순서체를 이룬다.
실계수 유리 함수체는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.
- , 여기에서 는 모든 실수 상수이다.
- , 일 때 .
이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.
외부 링크편집
- “Ordered field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.