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수학에서, 순서체(順序體, 영어: ordered field)는 전순서가 주어진 이다.

목차

정의편집

순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.

첫 번째 정의는 다음과 같다. 체  전순서  는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.

  1.  이면  이다.
  2.  이면  이다.

두 번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합  가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.

  1.  이면   그리고  이다.
  2.  인 모든 원소에 대해  이다.
  3.  이다.

이때   양수뿔(영어: positive cone)이라고 부른다. 이때 전순서  를 다음과 같이 정의한다.

 

성질편집

  •  이면  이다.
  •  이면  이다.
  • 모든 수   이거나  이다.
  • 순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
  • 가장 작은 순서체는 유리수체와 동형이며, 아르키메데스 성질을 가진다.

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유리수 · 실수 · 대수적 수 · 계산 가능한 수 · 초실수는 모두 순서체를 이룬다. 초현실수모임은 (집합론적 크기 문제를 무시하면) 순서체를 이룬다.

실계수 유리 함수체는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.

  •  , 여기에서  는 모든 실수 상수이다.
  •  ,  일때  .

이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.

반면, 유한체p진수체는 순서체를 이룰 수 없다.

외부 링크편집