순서위상

순서론에서, 순서위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를

$x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x$

로 표기하고, 이에 대한 동치류를

$[x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}$

로 표기하자. $X$ 위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.

$\uparrow a\setminus [a]_{\sim }=\uparrow a\setminus \downarrow a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not \lesssim a\}$

$\downarrow a\setminus [a]_{\sim }=\downarrow a\setminus \uparrow a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not \lesssim b\}$

여기서 $\uparrow$는 상폐포이며, $\downarrow$는 하폐포이다.

순서 위상

$X$ 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다.

$\{\uparrow a\setminus \downarrow a\}_{a\in X}\cup \{\downarrow b\setminus \uparrow b\}_{b\in X}$

즉, $X$의 기저는 다음과 같은 꼴이다.

$(\uparrow a_{1}\setminus \downarrow a_{1})\cap \cdots \cap (\uparrow a_{m}\setminus \downarrow a_{m})\cap (\downarrow b_{1}\setminus \uparrow b_{1})\cap \cdots \cap (\downarrow b_{n}\setminus \uparrow b_{n})\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\in X)$

(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 $X$ 전체이다.)

만약 $X$가 격자라면, $X$의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\{(\uparrow a\setminus \downarrow a)\cap (\downarrow b\setminus \uparrow b)\}_{a,b\in X}\cup \{\uparrow a\setminus \downarrow a\}_{a\in X}\cup \{\downarrow b\setminus \uparrow b\}_{b\in X}\cup \{X\}$

다음과 같이 구간 표기법

$(a,\infty )=\uparrow a\setminus \downarrow a$

$(-\infty ,b)=\downarrow b\setminus \uparrow b$

$(a,b)=(a,\infty )\cap (-\infty ,b)$

$(-\infty ,\infty )=X$

$(\infty ,b)=(a,-\infty )=(\infty ,-\infty )=\varnothing$

을 적용하면, 이는 다음과 같다.

$\{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup \{\pm \infty \}}$

만약 $X$가 유계 격자라면, $X$의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\{(a,b)\}_{a,b\in X}$

반순서 위상

$(X,\lesssim )$ 위의 상 반순서 위상(영어: upper half-order topology) 또는 좌 반순서 위상(영어: left half-order topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

$\{\downarrow b\setminus \uparrow b\}_{b\in X}$

마찬가지로, $(X,\lesssim )$ 위의 하 반순서 위상(영어: lower half-order topology) 또는 우 반순서 위상(영어: right half-order topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

$\{\uparrow a\setminus \downarrow a\}_{a\in X}$

성질

순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이다.

증명:

전순서 집합 $(X,\leq )$가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

• (정규성) 임의의 두 서로소 닫힌집합은 서로소 근방을 갖는다. (전순서 집합의 부분 집합 역시 순서 위상을 갖는 전순서 집합이므로, 만약 $X$가 정규 공간이라면 이는 완비 정규 공간이다.)
• (T₁) 한원소 집합은 닫힌집합이다.

정규성: 순서 위상에서 닫힌집합은 다음 4가지 가운데 하나와 같은 꼴이다.

$(-\infty ,b]$

$[a,b]$

$[a,\infty )$

$(-\infty ,\infty )$

이 가운데, $a<b$라면 $(-\infty ,a],[b,\infty )$는 서로소 닫힌집합이다. 이 경우,

$U_{1}=(-\infty ,b)\setminus (a,b)$

$U_{2}=(a,\infty )\setminus (a,b)$

는 이들을 분리하는 서로소 열린 근방이다. 나머지 경우들(예를 들어, $[a,b],[c,d]$, $a\leq b<c\leq d$)도 마찬가지로 해결된다.

T₁: 임의의 $x\in X$에 대하여,

$\{x\}=[x,x]=X\setminus \left((-\infty ,x)\cup (x,\infty )\right)$

이므로 한원소 집합 $\{x\}$는 닫힌집합이다.

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 선형 연속체이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

예

유한 집합

$\{a,b\}$의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a\},\{b\},\varnothing \right\}$

$\left\{\{a\},\{b\}\right\}$

$\left\{\{a,b\}\right\}$

$\{\varnothing \}$

$\varnothing$

$\{a,b\}$의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a,b\}\right\}$

$\varnothing$

$\{a,b\}$의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\right\}$

$\left\{\varnothing \right\}$

$\varnothing$

자명한 순서

집합 $X$ 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

순서체

실수체 $\mathbb {R}$, 유리수체 $\mathbb {Q}$, 정수환 $\mathbb {Z}$ 자연수 집합 $\mathbb {N}$ 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. ($\mathbb {Z}$와 $\mathbb {N}$의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 ${}^{*}\mathbb {R}$에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 ${}^{*}\mathbb {R}$는 완전 분리 공간이 된다.

순서수의 위상

순서수 $\alpha$는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, $\alpha$의 극한점은 $\alpha$보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 $\omega _{1}$은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니다. $\omega _{1}+1$은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이다. $\omega _{1}+1$은 $\omega$의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Order topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Order topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Order topology”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Linearly orderable space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Definition: order topology”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Order topology is Hausdorff”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Order topology is normal”. 《ProofWiki》 (영어).