순서위상
순서론에서, 순서위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.
정의편집
원순서 집합 이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를
로 표기하고, 이에 대한 동치류를
로 표기하자. 위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.
순서 위상편집
위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다.
즉, 의 기저는 다음과 같은 꼴이다.
만약 가 격자라면, 의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.
다음과 같이 구간 표기법
을 적용하면, 이는 다음과 같다.
만약 가 유계 격자라면, 의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.
반순서 위상편집
위의 상 반순서 위상(영어: upper half-order topology) 또는 좌 반순서 위상(영어: left half-order topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.
마찬가지로, 위의 하 반순서 위상(영어: lower half-order topology) 또는 우 반순서 위상(영어: right half-order topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.
성질편집
순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이다.
증명:
전순서 집합 가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
- (정규성) 임의의 두 서로소 닫힌집합은 서로소 근방을 갖는다. (전순서 집합의 부분 집합 역시 순서 위상을 갖는 전순서 집합이므로, 만약 가 정규 공간이라면 이는 완비 정규 공간이다.)
- (T1) 한원소 집합은 닫힌집합이다.
정규성: 순서 위상에서 닫힌집합은 다음 4가지 가운데 하나와 같은 꼴이다.
이 가운데, 라면 는 서로소 닫힌집합이다. 이 경우,
는 이들을 분리하는 서로소 열린 근방이다. 나머지 경우들(예를 들어, , )도 마찬가지로 해결된다.
T1: 임의의 에 대하여,
예편집
유한 집합편집
의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.
의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.
의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.
자명한 순서편집
집합 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.
순서체편집
실수체 , 유리수체 , 정수환 자연수 집합 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. ( 와 의 경우 이는 이산 위상이다.)
초실수체 에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 는 완전 분리 공간이 된다.
순서수의 위상편집
순서수 는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, 의 극한점은 보다 작은 극한 순서수이다.
순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니다. 은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이다. 은 의 스톤-체흐 콤팩트화이다.
참고 문헌편집
- Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
외부 링크편집
- “Order topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Order topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Order topology”. 《Topospaces》 (영어). 2016년 5월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.
- “Linearly orderable space”. 《Topospaces》 (영어). 2016년 8월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.
- “Definition: order topology”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 4월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.
- “Order topology is Hausdorff”. 《ProofWiki》 (영어).[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
- “Order topology is normal”. 《ProofWiki》 (영어).[깨진 링크(과거 내용 찾기)]