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정의편집

열린 단위 원판   위의 정칙 함수   을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]

  • 임의의  에 대하여,  이다.
  •  
  • 다음 두 조건이 서로 동치이다.
    •   가 존재하거나,  이다.
    • 임의의  에 대하여  이다. 여기서   인 상수이다. (즉,    위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

증명편집

함수  를 다음과 같이 정의하자.[1]

 

그렇다면,  는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의   에 대하여,

 

이며, 따라서

 

이다. 즉,  일 경우  이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한  이다.

만약   가 존재하거나,  이라면,   에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의  에 대하여   가 존재하며,  이다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.

만약 임의의  에 대하여  이며,   인 상수라면, 자명하게 임의의  에 대하여  이며, 또한 <matth>|f'(0)|=1</math>이다.

따름정리편집

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류편집

열린 단위 원판   위의 쌍정칙 함수  이 주어졌다고 하자. 그렇다면,  뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서   이며  인 상수이다.

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명편집

이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수  를 다음과 같이 정의하자.

 

이는   위의 쌍정칙 함수이며,  이다. 따라서,

 

  위의 쌍정칙 함수이며,  이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,

 

이므로,  이다. 따라서, 임의의  에 대하여   가 존재하며,  이다. 즉,  에 대하여,

 

이다. 즉,  를 취하면 된다.

슈바르츠-픽 보조정리편집

열린 단위 원판   위의 정칙 함수  가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz-Pick lemma)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 임의의  에 대하여,
     
  • 임의의  에 대하여,
     
  • 다음 두 조건이 서로 동치이다.
    • 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는  이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는  이 존재한다.
    • 임의의  에 대하여  이다. 여기서   이고  인 상수이다. (즉,    위의 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리

 

를 증가시키지 않는다.

슈바르츠-픽 보조정리의 증명편집

임의의  를 취하고, 다음과 같은 함수  을 정의하자.

 
 

이들은   위의 쌍정칙 함수이며,  이므로,

 

는 정칙 함수이며,  이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의  에 대하여,

 
 

이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는  이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는  이 존재하는 것은

 

  위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는  가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

역사편집

같이 보기편집

각주편집

  1. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 275-276쪽.

외부 링크편집