선형대수학군론에서, 준반사(準反射, 영어: pseudoreflection 슈도리플렉션[*])는 유한 차원 벡터 공간 위의, 고정점 공간의 여차원이 1인 멱일 자기 선형 변환이다. 유클리드 공간에서의 반사의 개념을 실수체 대신 임의의 에 대하여 일반화한 것이다.

정의편집

  위의 유한 차원 벡터 공간   위의 준반사는 다음과 같은 자기 선형 변환  이다.

  • 멱일원이다. 즉,  인 양의 정수  이 존재한다.
  • 고정점 부분 벡터 공간  여차원은 1이다.

여기서  이 되는 최소의 양의 정수   차수(영어: order)라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, 여차원이 0이 된다).

성질편집

차수편집

  위의 유한 차원 벡터 공간   위의 준반사  의 차수  에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

  •  이며,  이다.
  •  이다.

즉, 특히 실수체  일 경우, 표수 0이며, 1의 거듭제곱근이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다.

반면, 예를 들어 복소수체의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다.

고윳값편집

  위의 유한 차원 벡터 공간   위의 준반사  의 차수가  이라고 하자. 만약  가 대각화될 수 있다면,  는 다음과 같이 표현된다.

 

여기서  는 1이 아닌 1의 거듭제곱근이다. 만약  가 대각화될 수 없다면,  는 다음과 같이 표현된다.

 

대각화될 수 없는 준반사를 이환(移環, 영어: transvection)이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다.

만약  이라면,  는 항상 대각화될 수 있다.

준반사로 생성되는 군편집

임의의 체   위의 유한 차원 벡터 공간  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환으로 구성된 임의의 유한군

 
 

이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다.

  •   값의 변수를 갖는 자유 가환 결합 대수  . 그 위에는   와 같이 작용하여, 이는 군환  가군을 이룬다.
  •  에 대한 불변 다항식들의 부분 대수  .

또한, 다음을 가정하자.

  •  이거나, 또는  

슈발레-셰퍼드-토드 정리(Chevalley-Shepard-Todd定理, 영어: Chevalley–Shepard–Todd theorem)에 따르면,  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합  이 존재한다.
  •    위의 자유 결합 가환 대수(다항식환)이다.
  •  의 모든 소 아이디얼에서의 국소화정칙 국소환이다.
  •    위의 자유 가군이다.
  •    위의 사영 가군이다.

이러한 꼴로 표현될 수 있는 유한군 -준반사군(準反射群, 영어: pseudoreflection group)이라고 한다.

 -준반사군의 직접곱은 역시  -준반사군이다.

증명:

 -준반사군

 
 

이 주어졌을 때, 자연스럽게

 

이다.

역사편집

슈발레-셰퍼드-토드 정리는 복소수체의 경우 제프리 콜린 셰퍼드(영어: Geoffrey Colin Shephard)와 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며,[1] 1955년에 클로드 슈발레가 더 간략한 증명을 발표하였다.[2]

이후 장피에르 세르가 이 정리를 양의 표수에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌편집

  1. Shephard, Geoffrey Colin; Todd, John Arthur (1954). “Finite unitary reflection groups”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 6: 274–304. doi:10.4153/CJM-1954-028-3. ISSN 0008-414X. MR 0059914. 
  2. Chevalley, Claude (1955년 10월). “Invariants of finite groups generated by reflections”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 77 (4): 778–782. doi:10.2307/2372597. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372597. 
  • “Polynomial invariants of finite groups. A survey of recent developments”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 34: 211–250. 1997. doi:10.1090/S0273-0979-97-00724-6. MR 1433171. 

외부 링크편집