슈타인 다양체

복소다변수론에서 슈타인 다양체(Stein多樣體, 영어: Stein manifold)는 복소 벡터 공간의 부분공간으로 나타낼 수 있는 다양체다. 다변수 정칙함수의 정의역으로 쓰인다.

정의편집

복소다양체  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 다양체를 슈타인 다양체라고 한다.

  • 고유 정칙 매끄러운 몰입  이 존재한다.
  •  은 다음 두 조건을 만족시킨다. 여기서    위의 정칙함수들의 가환환이다.
    • (정칙 볼록성 영어: holomorphic convexity)  콤팩트 부분공간의 정칙 볼록 폐포(영어: holomorphic convex hull)는 콤팩트하다.
    • (정칙 분해 가능성) 서로 다른 두 점  가 주어지면,  정칙 함수  가 존재한다. 즉, 점들을 정칙 함수들로 구별할 수 있다.

여기서 콤팩트 부분 공간  정칙 볼록 폐포  는 다음과 같다.

 

성질편집

모든 슈타인 다양체는 콤팩트 공간이 아니다.

슈타인 다양체 위의 연접층에 대하여, 카르탕 정리가 성립한다. 이에 따라, 슈타인 다양체 위의 쿠쟁 문제를 쉽게 풀 수 있다. 카르탕 정리가가 정리에 따라, 슈타인 다양체는 대략 아핀 스킴에 대응하는 개념이다.

편집

  • 유한 차원 복소 벡터 공간  은 슈타인 다양체다.
  •  의 부분공간인 모든 정칙영역(domain of holomorphy)은 슈타인 다양체다.
  • 슈타인 다양체의 닫힌 부분 복소 다양체 또한 슈타인 다양체다.

역사편집

카를 슈타인(독일어: Karl Stein)이 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Stein, Karl (1951). “Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 123 (1): 201–222. doi:10.1007/BF02054949. ISSN 0025-5831. MR 0043219. Zbl 0042.08703. 
  • Forster, Otto (1981). 《Lectures on Riemann surfaces》. Graduate Text in Mathematics 81. New-York: Springer Verlag. ISBN 0-387-90617-7. 
  • Hörmander, Lars (1990). 《An introduction to complex analysis in several variables》. North-Holland Mathematical Library 7. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. ISBN 978-0-444-88446-6. MR 1045639. 
  • Gompf, Robert E. (1998). “Handlebody construction of Stein surfaces”. 《Annals of Mathematics》 (The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2) 148 (2): 619–693. doi:10.2307/121005. ISSN 0003-486X. JSTOR 121005. MR 1668563.  다음 글자 무시됨: ‘Annals of Mathematics. Second Series ’ (도움말)
  • Grauert, Hans; Reinhold Remmert (1979). 《Theory of Stein spaces》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 236. Berlin-New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90388-7. MR 0580152. 

외부 링크편집