슈티펠-휘트니 특성류

대수적 위상수학에서, 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney特性類, 영어: Stiefel–Whitney class)는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

정의편집

위상 공간   위의 실수 유한 차원 벡터 다발  슈티펠-휘트니 특성류

 

는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.

  • (직합의 분해) 임의의 벡터 다발  에 대하여,  
  • (당김) 임의의 연속 함수  에 대하여,  
  • (계수)  이며,  이다.
  • (규격화) 실수 사영 직선  의 자명 선다발  의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉,  코호몰로지 환 ,  이라면  이다.

이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류편집

아벨 군짧은 완전열

 

에 대한 복시테인 준동형

 

를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발  정수 슈티펠-휘트니 특성류  는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 이다.

 

우 특성류편집

유한 차원 실수 벡터 다발  우 특성류([吳]特性類, 영어: Wu class)  는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.

 
 

구성편집

슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

톰 동형을 통한 구성편집

슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.[1]

 차원 실수 벡터 다발  이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

또한,   속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류  가 존재한다.

  • 모든  에 대하여, 올  에 국한한 코호몰로지류  는 0이 아니다.

이를 톰 특성류라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

 

이 경우,    벡터 공간동형 사상이다. 이를 톰 동형이라고 한다.

기본 코호몰로지류  의 총 스틴로드 제곱

 

를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

 

무한 사영 공간을 통한 구성편집

선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

 차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체  에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간  에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

 

이다.

실수 선다발  에 대응하는 연속 함수

 

를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

 

이다. 그렇다면, 실수 선다발  슈티펠-휘트니 특성류  는 다음과 같다.

 

여기서   호모토피류를 뜻한다.

성질편집

일반적으로 특성류매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. 우 정리([吳]定理, 영어: Wu’s theorem)에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

방해물 이론편집

처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

특히, 다양체  가향 다양체필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 스핀 구조를 갖는다.
  • 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체  스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체  위의 유한 차원 실수 벡터 다발  에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 스핀C 구조를 갖는다.
  • 1차 슈티펠-휘트니 특성류  가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류  가 0이다.

특히, 다양체  스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

역사편집

에두아르트 슈티펠(독일어: Eduard Stiefel)[2]해슬러 휘트니[3]가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔(중국어 간체자: 吴文俊, 정체자: 吳文俊, 병음: Wú Wénjùn, 한자음: 오문준)이 도입하였다.[4]

참고 문헌편집

  1. Thom, René (1954). “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) 28: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 
  2. Stiefel, Eduard (1935). “Richtungsfelder und Fernparallelismus in  -dimensionalen Mannigfaltigkeiten”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 8 (1): 305–353. doi:10.1007/BF01199559. ISSN 0010-2571.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 42) (도움말)
  3. Whitney, Hassler (1937). “Topological properties of differentiable manifolds”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 43: 785–805. doi:10.1090/S0002-9904-1937-06642-0. ISSN 0273-0979. MR 1563640. Zbl 0018.23902. 
  4. Wu, Wen-Tsun (1955). “On Pontrjagin classes II”. 《Scientia Sinica》 (영어) 4: 455-490. 

외부 링크편집