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일반위상수학에서, 스톤-체흐 콤팩트화(Stone-Čech compact化, 영어: Stone–Čech compactification)는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.

정의편집

위상 공간의 범주  콤팩트 하우스도르프 공간의 범주  가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자

 

가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

 
 

이 경우,  스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라,   반사 부분 범주를 이룬다.

구성편집

위상 공간  가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

 이 연속 함수  들의 집합이라고 하자. 그렇다면  곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다. (만약  티호노프 공간이라면 이는 추가로 단사 함수이다.)

 
 

 는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,

 

폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면)  의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.

 

성질편집

수반 함자의 단위원  로부터, 임의의 위상 공간  에 대하여, 표준적인 연속 함수

 

가 존재한다. 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약  티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는  와 그   사이의 위상동형을 정의하며,   조밀 집합을 이룬다. 만약  가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면   와 위상동형이다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다.

집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자

 

및 망각 함자

 

가 주어졌다면,  는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합  멱집합  에 대응하는 스톤 공간과 같다.

역사편집

마셜 하비 스톤[1]에두아르트 체흐[2] 가 1937년에 독자적으로 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. Stone, M.H. (1937). “Applications of the theory of Boolean rings to general topology”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 41 (3): 375–481. JSTOR 1989788. doi:10.2307/1989788. 
  2. Čech, E. (1937). “On bicompact spaces”. 《The Annals of Mathematics》 (영어) 38 (4): 823–844. JSTOR 1968839. doi:10.2307/1968839. 

외부 링크편집

같이 보기편집