스핀 접속

미분기하학일반 상대성 이론에서, 스핀 접속(spin接續, 영어: spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 코쥘 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체  
  •  접다발  코쥘 접속  
  •   위의 (국소) 필바인  

 필바인 지수,  가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.

그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.

 

즉,

 

여기서  는 ( 로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호,  필바인이다.

이는 1차 미분 형식들로 이루어진   반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,

 

이다. 여기서  는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.

스피너 다발의 접속편집

스핀 접속은 이름과 같이 스피너 다발의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

  • 부호수  준 리만 다양체  . 그 틀다발 이라고 하자. 즉,  이다.
  • 스핀 구조, 즉   으로의 올림  .

그렇다면, (디랙) 스피너 다발

 

을 정의할 수 있다. 이는  차원 복소수 벡터 다발이다.

그렇다면,   위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.

 

여기서

 

  위의   표현이다.

이것은 리만 기하학에 사용된다.

성질편집

만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.

 

여기서  1차 미분 형식외미분,  는 두 1차 미분 형식쐐기곱이다.

외부 링크편집