스핀 접속

미분기하학일반 상대성 이론에서, 스핀 접속(spin接續, 영어: spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 코쥘 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체  
  •  접다발  코쥘 접속  
  •   위의 (국소) 필바인  

 필바인 지수,  가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.

그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.

 

즉,

 

여기서  는 ( 로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호,  필바인이다.

이는 1차 미분 형식들로 이루어진   반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,

 

이다. 여기서  는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.

스피너 다발의 접속편집

스핀 접속은 이름과 같이 스피너 다발의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

  • 부호수  준 리만 다양체  . 그 틀다발 이라고 하자. 즉,  이다.
  • 스핀 구조, 즉   으로의 올림  .

그렇다면, (디랙) 스피너 다발

 

을 정의할 수 있다. 이는  차원 복소수 벡터 다발이다.

그렇다면,   위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.

 

여기서

 

  위의   표현이다.

성질편집

만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.

 

여기서  1차 미분 형식외미분,  는 두 1차 미분 형식쐐기곱이다.

외부 링크편집