주 메뉴 열기

정의편집

시그마 대수편집

불 대수  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수(추상적) 시그마 대수(영어: (abstract) sigma-algebra)라고 한다.[1]:§2.3[2]:Definition 1

시그마 대수 준동형편집

두 시그마 대수  ,   사이의 시그마 대수 준동형(영어: sigma-algebra homomorphism)  은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의 가산 부분 집합  에 대하여,  이다. (특히,  일 경우,  이다.)
  • 임의의 가산 부분 집합  에 대하여,  이다. (특히,  일 경우,  이다.)
  • 임의의 원소  에 대하여,  이다.

여기서   은 각각 최대 원소최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주  를 이룬다.

시그마 아이디얼편집

시그마 대수  시그마 아이디얼(영어: sigma-ideal)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼  이다.[1]:Definition 2.3.7

  • 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합  에 대하여,  이다.

불 대수가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수  를 정의할 수 있으며,  가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수  라고 한다.[1]:Definition 2.3.7

성질편집

함의 관계편집

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

완비 격자 완비 헤이팅 대수 완비 불 대수
시그마 대수
원순서 집합부분 순서 집합 유계 격자 헤이팅 대수 불 대수

분배 법칙편집

시그마 대수  의 원소  에 대하여, 다음이 성립한다.[2]:(1)

 
 

크기편집

기수  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.[3][4][5]

  •  완비 불 대수  가 존재한다.
  •  인 시그마 대수  가 존재한다.
  • 만약  가 무한 기수라면,  이다. 만약  가 유한 기수라면,  인 기수  이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상   이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는  이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합  멱집합  와 동형이다.

루미스-시코르스키 표현 정리편집

루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, 영어: Loomis–Sikorski representation theorem)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수  에 대하여,

 

가 되는

  • 집합  
  • 시그마 대수  
  •  의 시그마 아이디얼  

가 존재한다.[1]:2.3.10[6]:167, Theorem 5.8[7]:255, Theorem XI.3[8] 그러나 일반적으로  이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

범주론적 성질편집

시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

편집

집합  멱집합완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.

측도 공간편집

가측 공간  에서,  는 정의에 따라  의 부분 시그마 대수이다.

측도 공간  에서,  -영집합들의 족

 

 의 시그마 아이디얼을 이루며,  는 시그마 대수를 이룬다.

구체적이지 않은 시그마 대수편집

폐구간의 보렐 시그마 대수  에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼  을 이룬다. 그 몫 시그마 대수  멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.[1]:Proposition 2.3.9

역사와 어원편집

"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.[9]:Remark 1.4.13 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(영어: Lynn Harold Loomis, 1915~1994)[8]와 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)[10]:256, Theorem 5.3가 증명하였다.

참고 문헌편집

  1. Tao, Terrence (2010). 《An epsilon of room I: real analysis. Pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1. 
  2. Kriz, Igor; Pultr, Aleš (2014년 2월). “Categorical geometry and integration without points”. 《Applied Categorical Structures》 (영어) 22 (1): 79-97. Bibcode:2011arXiv1101.3762K. ISSN 0927-2852. arXiv:1101.3762. doi:10.1007/s10485-012-9295-2. 
  3. Pierce, R. S. (1958). “A note on complete Boolean algebras”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 892–896. doi:10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6. 
  4. Comfort, W. W.; Hager, Anthony W. (1972). “Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras” (PDF). 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 40 (3): 541–545. MR 0307997. Zbl 0232.06008. 
  5. Monk, J. Donald; Sparks, Paul R. (1971). “Counting Boolean algebras”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 18: 551–551. 
  6. Vladimirov, D. A. (2002). 《Boolean algebras in analysis》 (PDF). Mathematics and its Applications (영어) 540. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0480-3. doi:10.1007/978-94-017-0936-1. 
  7. Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》. AMS Colloquium Publications (영어) 25 3판. American Mathematical Society. 
  8. Loomis, Lynn Harold (1947). “On the representation of σ-complete Boolean algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 53: 757–760. ISSN 0273-0979. MR 21084. Zbl 0033.01103. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08866-2. 
  9. Tao, Terrence. 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. 
  10. Sikorski, Roman (1948). “On the representation of Boolean algebras as fields of sets”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 35 (1): 247–258. ISSN 0016-2736. 

외부 링크편집