실수의 모형은 집합
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
0
,
1
{\displaystyle 0,1}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
이항연산
+
,
×
{\displaystyle +,\times }
덧셈 , 곱셈 이라고 한다), 그리고
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
이항관계
≤
{\displaystyle \leq }
(
R
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(\mathbf {R} ,+,\times \right)}
체 를 이룬다. 즉,
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
(
x
+
y
)
+
z
=
x
+
(
y
+
z
)
,
(
x
×
y
)
×
z
=
x
×
(
y
×
z
)
{\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z),(x\times y)\times z=x\times (y\times z)}
결합법칙 )
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
+
y
=
y
+
x
,
x
×
y
=
y
×
x
{\displaystyle x+y=y+x,x\times y=y\times x}
교환법칙 )
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
x
×
(
y
+
z
)
=
(
x
×
y
)
+
(
x
×
z
)
{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}
분배법칙 )
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
x
+
0
=
x
{\displaystyle x+0=x}
항등원 의 존재)
0
≠
1
{\displaystyle 0\neq 1}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
x
×
1
=
x
{\displaystyle x\times 1=x}
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
−
x
∈
R
{\displaystyle -x\in \mathbf {R} }
x
+
(
−
x
)
=
0
{\displaystyle x+(-x)=0}
역원 의 존재)
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
x
−
1
∈
R
{\displaystyle x^{-1}\in \mathbf {R} }
x
×
x
−
1
=
1
{\displaystyle x\times x^{-1}=1}
(
R
,
≤
)
{\displaystyle \left(\mathbf {R} ,\leq \right)}
전순서 집합 을 이룬다. 즉,
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
x
≤
x
{\displaystyle x\leq x}
반사성 )
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
반대칭성 )
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
z
{\displaystyle y\leq z}
x
≤
z
{\displaystyle x\leq z}
추이성 )
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
완전성 )
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
+
,
×
{\displaystyle +,\times }
≤
{\displaystyle \leq }
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
x
+
z
≤
y
+
z
{\displaystyle x+z\leq y+z}
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
0
≤
x
{\displaystyle 0\leq x}
0
≤
y
{\displaystyle 0\leq y}
0
≤
x
y
{\displaystyle 0\leq xy}
순서
≤
{\displaystyle \leq }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
위로 유계 이면
A
{\displaystyle A}
상한 을 가진다. 첫번째 성질은 체 공리 , 둘째와 셋째를 합쳐서 순서 공리 , 넷째는 (데데킨트) 완비성 공리 라고 한다.
유리수는 순서체, 즉 체 공리와 순서 공리를 만족하는 수 체계이지만, 데데킨트 완비성 공리는 만족하지 않는다. 이는 완비성이 실수의 근본적인 성질임을 엿보여 준다. 데데킨트 완비성으로부터 아르키메데스 성질 을 유추할 수 있다. 아래 문단 에 실수 공리의 몇가지 모형이 제시되어 있다. 실수 공리의 임의의 두 모형은 서로 동형이다. 즉, 완비순서체는 동형의 의미 하에 유일하다.
여기서 임의의 두 모형
(
R
,
0
R
,
1
R
,
+
R
,
×
R
,
≤
R
)
,
(
S
,
0
S
,
1
S
,
+
S
,
×
S
,
≤
S
)
{\displaystyle \left(\mathbf {R} ,0_{\mathbf {R} },1_{\mathbf {R} },+_{\mathbf {R} },\times _{\mathbf {R} },\leq _{\mathbf {R} }\right),\left(\mathbf {S} ,0_{\mathbf {S} },1_{\mathbf {S} },+_{\mathbf {S} },\times _{\mathbf {S} },\leq _{\mathbf {S} }\right)}
전단사 함수
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:\mathbf {R} \to \mathbf {S} }
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
f
(
0
R
)
=
0
S
,
{\displaystyle f(0_{\mathbf {R} })=0_{\mathbf {S} },}
f
(
1
R
)
=
1
S
,
{\displaystyle f(1_{\mathbf {R} })=1_{\mathbf {S} },}
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
f
(
x
+
R
y
)
=
f
(
x
)
+
S
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+_{\mathbf {R} }y)=f(x)+_{\mathbf {S} }f(y)}
f
(
x
×
R
y
)
=
f
(
x
)
×
S
f
(
y
)
{\displaystyle f(x\times _{\mathbf {R} }y)=f(x)\times _{\mathbf {S} }f(y)}
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
≤
R
y
{\displaystyle x\leq _{\mathbf {R} }y}
필요충분조건 은
f
(
x
)
≤
S
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\leq _{\mathbf {S} }f(y)}
실수의 각 구성은 수학적으로나 역사적으로나 중요성이 크다. 앞의 세 개는 각각 게오르크 칸토어 /찰스 메레 , 리하르트 데데킨트 , 카를 바이어슈트라스 /오토 슈톨츠 에 의한 것으로 모두 몇년 간격으로 나타났으며, 각각의 장단점이 존재한다. 이 세가지 구성의 주된 동기는 수학 교육이다.
코시 수열에 의한 구성
편집
거리 공간 의 모든 코시 수열 을 수렴하게 만드는 정석적 방법은 완비화 를 통해 거리 공간에 새로운 점을 추가하는 것이다.
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|}
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
p진수 참고.
유리수 코시 수열, 즉 임의의 유리수
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
{\displaystyle N}
m
,
n
>
N
{\displaystyle m,n>N}
|
x
m
−
x
n
|
<
ε
{\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon }
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
R
{\displaystyle R}
(
x
n
)
+
(
y
n
)
=
(
x
n
+
y
n
)
{\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}
(
x
n
)
×
(
y
n
)
=
(
x
n
×
y
n
)
{\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n})}
R
{\displaystyle R}
동치관계 는, 앞서 정의한 덧셈, 곱셈, 순서에 대해 불변이며, 동치류 들의 집합
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
모든 실수 공리 를 만족하는 것을 보일 수 있다. 유리수
r
{\displaystyle r}
(
r
,
r
,
r
,
.
.
.
)
{\displaystyle (r,r,r,...)}
동치류 로 재정의함으로써
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
매장 시킬 수 있다.
'
(
x
n
)
,
(
y
n
)
{\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}
N
{\displaystyle N}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
x
n
≥
y
n
{\displaystyle x_{n}\geq y_{n}}
(
x
n
)
≥
(
y
n
)
{\displaystyle (x_{n})\geq (y_{n})}
이러한 구성에서 모든 실수
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
하나의 실수를 여러 가지 수열로 근사할 수 있다 는 관점이 보여진다.
이 구성에서 최소 상계 공리 가 성립함은 다음과 같이 증명할 수 있다.
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
u
0
{\displaystyle u_{0}}
u
0
{\displaystyle u_{0}}
S
{\displaystyle S}
l
0
{\displaystyle l_{0}}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
l
0
<
s
{\displaystyle l_{0}<s}
(
u
n
)
,
(
l
n
)
{\displaystyle (u_{n}),(l_{n})}
m
n
=
u
n
+
l
n
2
{\displaystyle m_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}}
S
{\displaystyle S}
맞으면,
l
n
+
1
=
l
n
,
u
n
+
1
=
m
n
{\displaystyle l_{n+1}=l_{n},u_{n+1}=m_{n}}
아니면,
l
n
+
1
=
m
n
,
u
n
+
1
=
u
n
{\displaystyle l_{n+1}=m_{n},u_{n+1}=u_{n}}
두 수열 모두 유리수 코시 수열이며, 서로 동치이다. 이로부터 실수
[
(
l
n
)
]
=
[
(
u
n
)
]
=
u
{\displaystyle [(l_{n})]=[(u_{n})]=u}
n
{\displaystyle n}
모든
l
n
{\displaystyle l_{n}}
S
{\displaystyle S}
모든
u
n
{\displaystyle u_{n}}
S
{\displaystyle S}
첫번째 결론에 의해
S
{\displaystyle S}
b
{\displaystyle b}
l
n
<
b
{\displaystyle l_{n}<b}
u
≤
b
{\displaystyle u\leq b}
u
{\displaystyle u}
S
{\displaystyle S}
u
{\displaystyle u}
S
{\displaystyle S}
≤
{\displaystyle \leq }
십진법 으로 표현된 실수는 자연스럽게 코시 수열로 바꿔 나타낼 수 있다. 예를 들어
π
{\displaystyle \pi }
3.1415... 는 코시 수열
(
3
,
3.1
,
3.14
,
3.141
,
3.1415
,
.
.
.
)
{\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)}
0.999… = 1은 코시 수열
(
0.9
,
0.99
,
0.999
,
.
.
.
)
{\displaystyle (0.9,0.99,0.999,...)}
(
1
,
1
,
1
,
.
.
.
)
{\displaystyle (1,1,1,...)}
유리수의 완비화에 의한 실수 구성의 장점 중 하나는, 실수에 국한되지 않고 다른 거리 공간에도 적용 가능하다는 것이다.
데데킨트 절단에 의한 구성
편집
순서체 상의 데데킨트 절단
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
최대원소 가 없는 집합
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
분할 이다. 데데킨트 절단을 실수로 두어 실수 체계를 구성할 수 있다. 데데킨트 절단
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
r
{\displaystyle r}
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
[1]
r
≠
∅
{\displaystyle r\neq \emptyset }
r
≠
Q
{\displaystyle r\neq \mathbf {Q} }
r
{\displaystyle r}
x
∈
r
{\displaystyle x\in r}
y
<
x
{\displaystyle y<x}
y
∈
r
{\displaystyle y\in r}
r
{\displaystyle r}
최대 원소 를 가지지 않는다. 즉, 임의의
x
∈
r
{\displaystyle x\in r}
y
∈
r
{\displaystyle y\in r}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
모든 실수의 집합을
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
x
≤
y
⇔
x
⊆
y
{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}
유리수 끼워넣기: 유리수
q
{\displaystyle q}
{
x
∈
Q
:
x
<
q
}
{\displaystyle \{x\in \mathbf {Q} :x<q\}}
[1] 조밀성 에 의해 최대원소가 존재하지 않으므로 데데킨트 절단의 조건을 만족한다. 실수로서의 유리수는 원래 유리수의 성질을 보존한다.
덧셈:
A
+
B
:=
{
a
+
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}}
[1]
뺄셈:
A
−
B
:=
{
a
−
b
:
a
∈
A
,
b
∈
Q
∖
B
}
{\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A,b\in \mathbf {Q} \!\setminus \!B\}}
Q
∖
B
{\displaystyle \mathbf {Q} \!\setminus \!B}
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
B
{\displaystyle B}
차집합 이다.
반수 (덧셈의 역원)는 뺄셈의 특례이다.
−
B
:=
0
−
B
=
{
a
−
b
:
a
<
0
,
b
∈
Q
∖
B
}
{\displaystyle -B:=0-B=\{a-b:a<0,b\in \mathbf {Q} \!\setminus \!B\}}
절댓값 :
|
A
|
:=
A
∪
(
−
A
)
{\displaystyle |A|:=A\cup (-A)}
곱셈:[1]
A
,
B
≥
0
{\displaystyle A,B\geq 0}
A
×
B
:=
{
a
b
:
a
,
b
≥
0
,
a
∈
A
,
b
∈
B
}
∪
{
x
∈
Q
:
x
<
0
}
{\displaystyle A\times B:=\{ab:a,b\geq 0,a\in A,b\in B\}\cup \{x\in \mathbf {Q} :x<0\}}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
|
A
|
×
|
B
|
{\displaystyle |A|\times |B|}
나눗셈의 정의도 곱셈과 비슷하다.
A
≥
0
,
B
>
0
{\displaystyle A\geq 0,B>0}
A
/
B
:=
{
a
/
b
:
a
∈
A
,
b
∈
Q
∖
B
}
{\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A,b\in \mathbf {Q} \setminus B\}}
B
≠
0
{\displaystyle B\neq 0}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
|
A
|
/
|
B
|
{\displaystyle |A|/|B|}
상한:
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
⋃
S
{\displaystyle \bigcup S}
무리수를 데데킨트 절단으로 표현하는 예로, 2의 양의 제곱근 은 집합
A
=
{
x
:
x
<
0
∨
x
×
x
<
2
}
{\displaystyle A=\{x:x<0\lor x\times x<2\}}
[2]
A
{\displaystyle A}
A
×
A
=
2
{\displaystyle A\times A=2}
A
{\displaystyle A}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
y
∈
A
{\displaystyle y\in A}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
y
=
2
x
+
2
x
+
2
{\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}
A
×
A
≤
2
{\displaystyle A\times A\leq 2}
q
<
2
{\displaystyle q<2}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
q
<
x
×
x
{\displaystyle q<x\times x}
이 구성의 장점은 임의의 실수가 유일한 하나의 절단과 대응한다는 점이다.
스테빈의 구성
편집
십진법 에 의한 실수의 표기는 시몬 스테빈 때부터 널리 알려졌다.[3] 0.999… 와 1.000… 등을 같은 실수로 정의한 뒤, 실수의 연산과 순서의 정의를 더한다. 십진법에 의한 정의는 코시 열과 데데킨트 절단에 의한 것과 동치이다. 10 외의 다른 밑 을 사용해도 무방하다.
이 구성의 장점은, 실수에 대한 처음의 인상과 가까우며, 함수의 급수 전개를 시사한다는 것이다. 모든 실수 모형의 동형성을 증명하는 표준적 방법은 각각의 모델에서 모든 실수의 소수 전개식을 제시하는 것이다.
초실수에 의한 구성
편집
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
초현실수에 의한 구성
편집
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
정수 집합에 의한 구성
편집
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
![{\displaystyle [(l_{n})]=[(u_{n})]=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be668315148791ce1f0a73eb7d2153b7bce3aa97)
