모듈러스 (수론)

유체론에서 모듈러스(영어: modulus)는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다.

정의

대역체의 아라켈로프 인자

대역체 $K$의 아라켈로프 인자(Аракелов因子, 영어: Arakelov divisor) 또는 충만 아이디얼(充滿ideal, 영어: replete ideal) ${\mathfrak {A}}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:34, §I.6}

• 각 아르키메데스 자리 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, 정수 $\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {Z}$
• 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리) ${\mathfrak {p}}$에 대하여, 실수 $\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {R}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다.

  $\left|\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0\}\right|<\aleph _{0}$

이를 자리의 중복수(영어: multiplicity)라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.

${\mathfrak {A}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})}{\mathfrak {p}}^{\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}$

이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.

모듈러스

대역체 $K$의 모듈러스 ${\mathfrak {m}}$은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.

• 모든 자리의 중복수는 음이 아니다.

  $\forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\geq 0$

• 만약 $K$가 대수적 수체라면, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.

만약 $K$가 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 고유 대수 곡선 $X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}$의 유리 함수체라면, $K$ 위의 모듈러스는 $X$의 효과적 베유 인자 (즉, $X$ 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합)와 같은 개념이다.

대역체의 모듈러스 ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }$는 유한 부분 (유한 위치들의 부분 중복집합) ${\mathfrak {m}}_{0}$와 무한 부분 (무한 위치들의 집합) ${\mathfrak {m}}_{\infty }$로 분해할 수 있다. 대수적 수체가 아닌 대역체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체 $K$의 모듈러스 ${\mathfrak {m}}$의 유한 부분 ${\mathfrak {m}}_{0}$는 소 아이디얼들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 아이디얼과 같다.

합동

대역체 $K$의 0이 아닌 두 원소 $a,b\in K^{\times }$ 및 $K$의 모듈러스 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, 만약 $\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0$인 모든 자리 ${\mathfrak {p}}$에 대하여 다음 조건이 성립한다면, $a$와 $b$가 $m$에 대하여 합동(영어: congruent)이라고 하고, $a\equiv b{\pmod {m}}$으로 적는다.

• ${\mathfrak {p}}$가 유한 자리이라면, $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(a/b-1)\geq \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})$
• ${\mathfrak {p}}$가 실수 매장 $\sigma \colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$에 대한 실수 자리라면, $\sigma (a/b)>0$

여기서 $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}$는 ${\mathfrak {p}}$에 대응되는 절댓값이

$|a|_{\mathfrak {p}}=\exp(-\operatorname {ord} (a))$

와 동치가 되는 전사 함수 $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\colon K\to \mathbb {Z} \sqcup \{\infty \}$이다.

대수 곡면의 아라켈로프 인자

대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 유리예비치 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.^:71–76

대수적 수체 $K$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {O}}_{K}$-스킴 $p\colon X/\operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}_{K})$이 2차원 정역 정칙 스킴이며, $p$가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한, ${\mathcal {O}}_{X}$의 일반점이 $\eta$라고 하자.

$K$의 아르키메데스 자리 $\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)$에 대하여, $X$의 $\sigma$에서의 올 $X_{\sigma }$는 다음과 같다.

$X_{\sigma }=X\times _{{\mathcal {O}}_{K}}{\bar {K}}_{\sigma }$

이는 리만 곡면을 이룬다.

$X$ 위의 아라켈로프 인자의 아벨 군 ${\widehat {\operatorname {Div} }}(X)$은 다음과 같다.

${\widehat {\operatorname {Div} }}(X)=\operatorname {Div} (X)\oplus \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma$

여기서 $\textstyle \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma$는 $K$의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다.

가역 유리 함수 $f\in \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })=\left(\operatorname {Frac} \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X})\right)^{\times }$에 대응하는 주 아라켈로프 인자(영어: principal Arakelov divisor) $(f)\in {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)$는 다음과 같다.^:75–76

$(f)=(f)_{0}+\sum _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}(f)_{\sigma }\sigma$

$(f)_{\sigma }=-\int _{X_{\sigma }}\ln |f_{\sigma }|\;\mathrm {d} \mu _{\sigma }$

여기서

• $\mathrm {d} \mu _{\sigma }$는 콤팩트 리만 곡면 $X_{\sigma }$ 위의, $\textstyle \int _{X_{\sigma }}\mathrm {d} \mu _{\sigma }=1$이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로, $X_{\sigma }$ 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 $\alpha$에 대하여 $\alpha \wedge {\bar {\alpha }}$는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다.
• $(f)_{0}$은 베유 주인자를 뜻한다.

이는 군 준동형

$(-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)$

을 이루며, 그 여핵을 아라켈로프 인자 유군(영어: Arakelov divisor class group)이라고 한다.^:76

예

유리수체 $\mathbb {Q}$의 아라켈로프 인자는

$(r)\infty ^{a}\qquad (r\in \mathbb {Q} ^{\times },\;a\in \mathbb {R} )$

의 꼴이다. 유리수체 $\mathbb {Q}$의 모듈러스는

$(n)\infty ^{a}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;a\in \{0,1\})$

의 꼴이다. 만약 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$의 소인수 분해가

$n=\prod _{i}p^{n_{i}}$

라면, $a,b\in \mathbb {Q}$에 대하여

$a\equiv b{\pmod {(n)}}\iff \exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb {Z} ,\qquad m\nmid n$

이며,

$a\equiv b{\pmod {(n)\infty }}\iff \left(a/b>1\land a\equiv b{\pmod {(n)}}\right)$

이다.

역사

아라켈로프 인자의 개념은 수렌 유리예비치 아라켈로프가 도입하였다.

$L/K$의 "정의 모듈러스"와 "인도자"

이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다.

$K$가 대수적 수체이며, $L/K$를 유한 아벨 확대로 가정하면,

$S$가 $L/K$에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, $S$에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 $I_{K}^{S}$에서 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.

$I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)$

아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스 $c$ 에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다.

$i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})$

여기서 $K_{{\mathfrak {m}},1}$은 ${\mathfrak {m}}$에 대한 반직선이며, $\operatorname {N} _{L/K}$는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 $L/K$의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 여기서, 최소한의 $L/K$정의모듈러스를 $L/K$의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

외부 링크

• “Modulus in algebraic number theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Arakelov geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Arakelov geometry”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 반직선 유군