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아르틴 상호 법칙

유체론에서, 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의편집

 대수적 수체이며,  가 유한 아벨 확대라고 하자.

 의 정수환  소 아이디얼  에 대하여, 만약   에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

 

가 존재한다.   위의,  의 모든 소 아이디얼  에 대하여,

 
 

  에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면,  에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군  에서 갈루아 군  으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.

 
 

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스  에 대하여, 군 준동형

 

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서   에 대한 반직선이며,  체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을  인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

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이차 수체편집

이차 수체  을 생각하자 ( 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면  에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.

  • 만약  인 경우,  인 소수  . 이 경우, 판별식 이다.
  • 만약  인 경우,  인 홀수 소수   및 2. 이 경우, 판별식 이다.

이 경우, 갈루아 군은

 

이다. 이 경우, 아르틴 사상은  의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

 

원분체편집

원분체  을 생각하자 ( 은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

 

이다. 여기서   가역원군이다. 구체적으로,  은 갈루아 군의 원소  에 대응된다.

이 경우,  의 인수가 아닌 소수  에 대하여, 아르틴 사상은

 

이다.

역사편집

에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.[1][2][3]

함께보기편집

참고 문헌편집

  1. Artin, Emil (1924). “Über eine neue Art von L-Reihen”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 3 (1): 89–108. doi:10.1007/BF02954618. ISSN 0025-5858. 
  2. Artin, Emil (1927). “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 5 (1): 353–363. doi:10.1007/BF02952531. ISSN 0025-5858. 
  3. Artin, Emil (1930). “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 7 (1): 46–51. doi:10.1007/BF02941159. ISSN 0025-5858. 

외부 링크편집