아르틴 상호 법칙
유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.
정의
편집의 정수환 의 소 아이디얼 에 대하여, 만약 가 에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상
가 존재한다. 위의, 의 모든 소 아이디얼 에 대하여,
가 에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, 에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 에서 갈루아 군 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.
아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 에 대하여, 군 준동형
의 핵은 다음과 같은 꼴이다.
여기서 은 에 대한 반직선이며, 는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.
예
편집이차 수체
편집이차 수체 을 생각하자 ( 은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.
이 경우, 갈루아 군은
이다. 이 경우, 아르틴 사상은 의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.
원분체
편집원분체 을 생각하자 ( 은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은
이다. 여기서 은 의 가역원군이다. 구체적으로, 은 갈루아 군의 원소 에 대응된다.
이 경우, 의 인수가 아닌 소수 에 대하여, 아르틴 사상은
이다.
역사
편집같이 보기
편집각주
편집- ↑ Artin, Emil (1924). “Über eine neue Art von L-Reihen”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 3 (1): 89–108. doi:10.1007/BF02954618. ISSN 0025-5858.
- ↑ Artin, Emil (1927). “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 5 (1): 353–363. doi:10.1007/BF02952531. ISSN 0025-5858.
- ↑ Artin, Emil (1930). “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 7 (1): 46–51. doi:10.1007/BF02941159. ISSN 0025-5858.
- Artin, Emil; John Tate (1990). 《Class field theory》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51011-9.
- Childress, Nancy (2008). 《Class field theory》. Universitext (영어). doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. ISSN 0172-5939. Zbl 1165.11001.
- Lenstra, H.W., Jr.; P. Stevenhagen (2000년 3월). “Artin reciprocity law and Mersenne primes” (PDF). 《Nieuw Archief voor Wiskunde (serie 5)》 (영어) 1 (1): 44–54.
- Frei, Günther (2004). 〈On the History of the Artin Reciprocity Law in Abelian Extensions of Algebraic Number Fields: How Artin was Led to his Reciprocity Law〉. 《The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, 2002》 (영어). 267–294쪽. doi:10.1007/978-3-642-18908-1_8. ISBN 978-3-642-62350-9.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin reciprocity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Artin reciprocity law”. 《nLab》 (영어).
- Mathew, Akhil (2010년 6월 22일). “The Artin reciprocity law”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).