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아벨 변환(-變換, Abel transformation), 또는 아벨의 보조정리(-補助定理, Abel's lemma), 아벨의 부분합 공식(-部分合公式, Abel's partial summation formula)은 두 수열의 항별곱의 합을 계산하기 위한 변환법이다. 합산에서의 아벨 변환은 적분에서의 부분적분과 유사하다. 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다.

기법편집

임의의 , 복소수열 {an}, {bn}과 임의의 두 자연수 nm ≥ 0에 대해, 다음 공식이 성립한다.

 

또는 (전향차분을 사용해)

 

이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

  으로 두고 정리하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.

 

로 서술된다.[1] 여기서

 .

응용편집

이 식을 이용하여 유명한 교대급수  가 수렴함을 증명해 보자.  ,   로 놓고 1부터 n까지 더한 식에 아벨 변환을 적용하면,  (k가 짝수) 또는  (k가 홀수) 다음과 같이 된다.([x]는 가우스 함수)

  •  

그런데 우변의 첫 항  은 무한대에서 0으로 수렴하므로, 결론적으로 이 교대급수는 이렇게 변환된다.

  •  

마지막 항은 비교판정법에 의하여 수렴하는 급수이다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 180쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 

참고 문헌편집

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.