아벨 변환 (-變換, Abel transformation ), 또는 아벨의 보조정리 (-補助定理, Abel's lemma ), 아벨의 부분합 공식 (-部分合公式, Abel's partial summation formula )은 두 수열 의 항별곱의 합을 계산하기 위한 변환법이다. 합산 에서의 아벨 변환은 적분 에서의 부분적분 과 유사하다. 닐스 헨리크 아벨 의 이름이 붙어 있다.
임의의 실 , 복소 수열 {an }, {bn }과 임의의 두 자연수 n ≥ m ≥ 0에 대해, 다음 공식이 성립한다.
∑
k
=
m
n
(
a
k
+
1
−
a
k
)
b
k
=
a
n
+
1
b
n
+
1
−
a
m
b
m
−
∑
k
=
m
n
a
k
+
1
(
b
k
+
1
−
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}(a_{k+1}-a_{k})b_{k}=a_{n+1}b_{n+1}-a_{m}b_{m}-\sum _{k=m}^{n}a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})}
또는 (전향차분 을 사용해)
∑
k
=
m
n
(
Δ
a
k
)
b
k
=
a
n
+
1
b
n
+
1
−
a
m
b
m
−
∑
k
=
m
n
a
k
+
1
(
Δ
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}(\Delta a_{k})b_{k}=a_{n+1}b_{n+1}-a_{m}b_{m}-\sum _{k=m}^{n}a_{k+1}(\Delta b_{k})}
이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.
Δ
a
n
{\displaystyle \Delta a_{n}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
A
n
,
m
b
n
+
1
−
∑
k
=
m
n
A
k
,
m
(
b
k
+
1
−
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n,m}b_{n+1}-\sum _{k=m}^{n}A_{k,m}(b_{k+1}-b_{k})}
로 서술된다.[1]
A
k
,
m
=
∑
i
=
m
k
a
i
{\displaystyle A_{k,m}=\sum _{i=m}^{k}a_{i}}
이 식을 이용하여 유명한 교대급수
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}}
a
k
=
(
−
1
)
k
{\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}}
b
k
=
1
k
{\displaystyle b_{k}={\frac {1}{k}}}
A
k
,
1
=
0
{\displaystyle A_{k,1}=0}
짝수 ) 또는
=
−
1
{\displaystyle =-1}
홀수 ) 다음과 같이 된다.([x]는 가우스 함수 )
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
k
=
A
n
,
1
b
n
−
∑
k
=
1
n
−
1
A
k
,
1
(
b
k
+
1
−
b
k
)
=
A
n
,
1
b
n
−
∑
k
=
1
[
n
/
2
]
1
2
k
(
2
k
−
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k}}=A_{n,1}b_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}A_{k,1}(b_{k+1}-b_{k})=A_{n,1}b_{n}-\sum _{k=1}^{[n/2]}{\frac {1}{2k(2k-1)}}}
그런데 우변의 첫 항
A
n
,
1
b
n
{\displaystyle A_{n,1}b_{n}}
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
=
−
∑
k
=
1
∞
1
2
k
(
2
k
−
1
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k(2k-1)}}.}
마지막 항은 비교판정법 에 의하여 수렴하는 급수이다.
같이 보기 편집
참고 문헌 편집 
![\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} = A_{n,1}b_n - \sum_{k=1}^{n-1}A_{k,1}(b_{k+1} - b_k) = A_{n,1}b_n - \sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{1}{2k(2k-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b091d892a3a4d4f60f17db8173eeda046b01bc7c)
