아티야 준군

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미분기하학에서 아티야 준군(Atiyah準群, 영어: Atiyah groupoid)은 매끄러운 주다발에 대하여 표준적으로 대응되는 리 준군이다. 그 리 준대수아티야 리 준대수(Atiyah Lie準代數, 영어: Atiyah Lie groupoid)라고 한다.

정의 편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 이에 대응되는 아티야 준군  은 다음과 같은 리 준군이다.

  • 대상의 매끄러운 다양체 이다.
  • 사상의 매끄러운 다양체 이다. 여기서  오른쪽 군 작용  위에 성분별로 작용한다.
  • 정의역공역 사상   의 두 사영 사상  으로 주어진다.
  • 사상의 합성은 자명하게  로 주어진다.
  • 항등원 사상  대각 사상   ( )으로 주어진다.

이에 대응하는 리 준대수아티야 리 준대수라고 한다.

아티야 리 준대수의 직접적 정의 편집

아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

 의 미분

 

을 생각하자. 이는 다음과 같은   위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.

 

여기서 수직 벡터 다발   주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은  오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.

 

여기서

  • 연관 벡터 다발  무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면무한소 게이지 변환이다.
  •  매끄러운 단면    위의 벡터장   가운데,  작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
     

이에 따라,  는 다음과 같이   위의 리 준대수의 구조를 갖는다.

  •  은 위 가환 그림에 등장하는  -벡터 다발 사상이다.
  •  의 단면 공간  위의 리 괄호는 포함 사상  에 의하여  리 미분의 제한으로 정의된다.

이를 매끄러운 주다발  아티야 리 준대수라고 한다.

역사 편집

마이클 아티야가 도입하였다.[1]

참고 문헌 편집

  1. Atiyah, Michael (1957). “Complex analytic connections in fibre bundles”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 85: 181–207. doi:10.1090/S0002-9947-1957-0086359-5. JSTOR 1992969. MR 86359. 

외부 링크 편집