주 메뉴 열기

아핀 리 대수

(아핀 딘킨 도표에서 넘어옴)
비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.
비틀린 아핀 딘킨 도표들.

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, 영어: affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다.[1][2][3][4][5][6] 물리학등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의편집

아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

이 정의들은 서로 동치이다.

카츠-무디 대수로서의 정의편집

아핀 리 대수카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬  양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수   개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은   정사각 행렬이며 그 계수 이다.

대수적 구성편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수  . (만약  반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약  아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)

그렇다면, 아핀 리 대수   -벡터 공간으로서 다음과 같다.

 .

즉,  의 계수를 가진 로랑 다항식  중심 확대  를 더한 것이다. 물리학적으로  는 대칭의 보존류들을 나타내고,  는 대칭의 변칙을 나타낸다.

  위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다.  라고 하면,

 
 

 는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열

 

이 존재한다.

형식적 변수   대신,  정규 직교 기저  를 잡아, 직접

 

를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.

 
 

여기서   의 구조 상수이다.

실수 형태편집

 가 실수 이차 리 대수  의 복소화라고 하자. 그렇다면, 복소수 아핀 리 대수  실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.

 
 
 
 

즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(영어: antilinear) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점

 

실수 리 대수를 이룬다.

미분 연산의 추가편집

복소수 벡터 공간

 

위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.

 
 

즉,

 

이다. 만약 형식적으로  로 놓는다면,

 

가 된다.

또한,

 
 

이므로, 이 미분 연산은 실수 형태  에도 잘 정의된다.

뒤틀린 아핀 리 대수편집

 를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉,  로 놓으면,  를 주기적 함수  로 해석할 수 있다. 즉,  의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약  가 자명하지 않은 자기 동형  를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

 .

이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다.

아핀 리 대수의 기하학적 정의편집

아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.[3]:824, §4.1

구체적으로, 킬링 형식음의 정부호인 실수 단순 리 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간

 

을 정의할 수 있다. 이는  값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.

 
 

이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는

 

이다.

고리 리 대수  리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.

 
 

여기서

  •    위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간   위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다.
  •   근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은  에 따른 것이다.
  •  측도  에 따르면,  이다.

이 2차 공사슬리 대수짧은 완전열

 

을 정의한다. 이 경우,  에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수  는 자연스럽게 다음과 같이  의 부분 리 대수가 된다.

 

리 군의 기하학적 정의편집

실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.[3]:825, §4.1

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군  와 그 실수 리 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.

 

즉, 이는  값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는  중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열

 

에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판  를 생각하자. 이제,

 
 
 

이다. 여기서  는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제,   위의 다음과 같은 함수를 생각하자.

 
 

여기서

  •    위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합  으로 여길 수 있다.
  •   에 따른,  근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.

그렇다면,

 

는 (자명한 계수의)  군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는  중심 확대

 

를 정의한다.

이제, 임의의  에 대하여,

 
 

를 정의할 수 있다. 여기서

 
 

 의, 3차원 공  으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이  의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며,   정규 부분군이다. 따라서, 몫군

 

을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열

 

을 구성한다. (정수   의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라,  리 대수는 ( 일 경우,  의 값에 상관없이)  이다.

성질편집

아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

콕서터 수와 쌍대 콕서터 수편집

아핀 리 대수  의 단순근들이  이며, 단순 쌍대근들이  라고 하자. 콕서터 라벨(영어: Coxeter label)  쌍대 콕서터 라벨(영어: dual Coxeter label)  카르탕 행렬  에 대하여

 

를 만족시키는 벡터이다.[2]:96, (2.1.16) 이 경우,   의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 콕서터 수(영어: Coxeter number)  쌍대 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)  는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

 
 

아핀 리 대수  표준 중심 원소(標準中心元素, 영어: canonical central element)  는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수  의 원소이다.

 

그렇다면,  의 중심은 1차원 부분 대수

 

이다. 마찬가지로,

 

를 정의하자.

근계의 구조편집

아핀 리 대수  의 기본 단순 리 대수가  라고 하자.  가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어,  의 경우,  이다. 그렇다면,  의 실근들의 집합  는 구체적으로 다음과 같다.[1]:83, Proposition 6.3a,b,c

 

 의 허근들의 집합  는 다음과 같다.[1]:64, Theorem 5.6b

 

(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한,  는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.[1]:64, Theorem 5.6b

 

기본 단순 리 대수편집

단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때,  축척 원소(영어: scaling element)  는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.

 

축척 원소를 선택하였다면,  와 그 카르탕 부분 대수  는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.

 
 

 에서,   에 수직이 되는 부분 공간을  라고 하자.

 

아핀 리 대수  의 슈발레 생성원을

 

이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수  기본 단순 리 대수(영어: underlying simple Lie algebra)    로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수  의 카르탕 부분 대수는  이며, 그 근계 및 쌍대 근계는

 
 

이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각

 
 

이다.

바일 군편집

아핀 리 대수  바일 군  은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수  의 바일 군  과 어떤 자유 아벨 군반직접곱이다.[1]:88, Proposition 6.5

 

여기서

 

  속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형  를 암묵적으로 사용하였다.

표현론편집

 의 유한 차원 유니터리 표현

 

이 주어졌으며, 자연수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수  에서, 포함 관계  에 대하여

 

이며

 

가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현

 

이 유일하게 존재한다.

스가와라 구성편집

단순 리 대수  에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수  표현  가 주어졌다고 하자.

이 경우,  에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.

 
 
 

이를 스가와라 구성([菅原]構成, 영어: Sugawara construction)이라고 한다.[7][8]:(4.15), §4.2 여기서

  •  단순 리 대수  이중 콕서터 수이다.
  •   킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서  의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
  •  는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
  • 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
  •  의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수  의 표현   및 부분 단순 리 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  에 대응하는 스가와라 구성

 

 에 대응하는 스가와라 구성

 

이 주어진다. 이 경우,

 
 

를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다.[9] 이를 공액류 구성(영어: coset construction) 또는 고더드-켄트-올리브 구성(영어: Goddard–Kent–Olive construction) 또는 GKO 구성(영어: GKO construction)이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든   유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로,   유니터리 표현을 구현하려면,

 
 

를 취하면 된다. 여기서   의 대각 성분이다. 이 경우

 
 

이므로,

 

임을 계산할 수 있다.

분류편집

단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근  에서,  를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. ( 의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상  로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서  인 경우)는   로 표기하였다. 이 경우  인 경우는  이며,  인 경우는  이다.

기호
[1]:53–55
타 기호
[10]:24
타 기호
[11]:6–12
타 기호
[2]:94–95
바일 군 궤도 수 긴 실근의
동치류 수
짧은 실근의
동치류 수
딘킨 도표 콕서터 라벨
[2]:94–95
쌍대 콕서터 라벨
[2]:94–95[10]:24–25
콕서터 수[1]:80 쌍대 콕서터 수[1]:80
        2 2 0     2
 
 
      1   0      
        2     (길이  )          
        3     (길이 1)          
        1   0      
        1 72 0     12
        1 126 0     18
        1 240 0     30
        2 24 24 (길이 1)       12 9
        2 6 6 (길이  )       6 4
        3     (길이 1)          
        2     (길이  )       3
 
 
      3     (길이 1)
  (길이  )
       
        2 6 6 (길이  )       4 6
        2     (길이 1)          
        2 24 24 (길이 1)       9 12

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

Ãn편집

 일 경우,  의 카르탕 행렬은 다음과 같은   대칭 정사각 행렬이다.

 

 의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

 

 딘킨 도표 일 경우  개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

Ã2n(2)편집

 일 때,  의 카르탕 행렬은 다음과 같은   비대칭 정사각 행렬이다.

 

여기서 행·열  의 순서는 다음과 같다.

 

 의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

 

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

 

2와 D̃4(3)편집

 
 의 근계. 여기서   의 유일한 짧은 근,   의 유일한 긴 근이며,  이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사  ,  ,   의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본방(영어: fundamental chamber)는 직각삼각형  이다.

 의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

 

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

 

이다.

 의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

 

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

 

이다.

편집

 가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수

 

역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대

 

에서

 
 

이 된다. 이 경우,

 
 
 

로 놓으면,

 

가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 ( 으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수직합이 된다.[7]:§2.4 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간   위에 표준적으로 작용한다.[7]:(2.19)

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.[7]:(2.23)

 
 

물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

역사편집

아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디(영어: Robert Moody)가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카(일본어: 菅原 寛孝 (すがわら ひろたか))가 1968년에 발견하였다.[12] 공액 구성은 피터 고더드(영어: Peter Goddard, 1945〜) · 에이드리언 켄트(영어: Adrian Kent) · 데이비드 올리브(영어: David Olive, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.[13][9]

참고 문헌편집

  1. Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-37215-2. MR 1104219. Zbl 0716.17022. doi:10.1017/CBO9780511626234. 
  2. Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1. MR 1337497. Zbl 0952.17016. 
  3. Frenkel, I. B. (1987). 〈Beyond affine Lie algebras〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986. Volume Ⅰ》 (영어). 821–839쪽. 
  4. Di Francesco, P.; Mathieu, P.; Sénéchal, D. (1997). 《Conformal field theory》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94785-X. 
  5. Kohno, Toshitake (1998). 《Conformal field theory and topology》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2130-X. 
  6. Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). 《Loop groups》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X. 
  7. Schlichenmaier, Martin (1998). “Sugawara construction for higher genus Riemann surfaces” (영어). arXiv:math/9806032. 
  8. Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145. 
  9. Goddard, Peter; Kent, Adrian; Olive, David (1986). “Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 103 (1): 105–119. ISSN 0010-3616. MR 0826859. Zbl 0588.17014. doi:10.1007/BF01464283. 
  10. Nauta, Jan S. (2012년 4월 20일). 《Affine Lie algebras and affine root systems》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. 암스테르담 대학교. 
  11. Macdonald, I. G. (2003). 《Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 157. Cambridge University Press. ISBN 978-052182472-9. doi:10.1017/CBO9780511542824. 
  12. Sugawara, Hirotaka (1968). “A field theory of currents”. 《Physical Review》 (영어) 176: 2019–2025. Bibcode:1968PhRv..170.1659S. doi:10.1103/PhysRev.170.1659. 
  13. Goddard, Peter; Kent, A.; Olive, D. (1985). “Virasoro algebras and coset space models”. 《Physics Letters B》 (영어) 152: 88. 

외부 링크편집