알렉산드로프 콤팩트화

일반위상수학에서, 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

정의편집

 가 임의의 위상 공간이라고 하자. 여기에 한 점  를 추가하여,  에 다음과 같은 위상을 부여하자.  의 부분집합  가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.

  • 만약  라면,   의 위상에서 열린 집합일 때
  • 만약  라면,   의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때

이렇게 위상을 부여한 위상 공간  는 항상 콤팩트 공간이다.

증명:

 열린 덮개  가 주어졌다고 하자. 그 유한 부분 덮개를 찾으면 족하다.

열린 덮개의 정의에 따라,  가 존재한다. 알렉산드로프 콤팩트화의 정의에 따라,  콤팩트 공간이며,  를 이에 제한하면 이는  열린 덮개를 이룬다. 따라서 그 유한 부분 덮개  를 찾을 수 있다. 이제,   를 덮는 유한 부분 덮개이다.

이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 관계  가 존재하며,  는 밑점  로 인하여 자연스럽게 점을 가진 공간을 이룬다.

성질편집

포함 사상  는 항상 연속 함수이며 (열린집합원상열린집합) 열린 함수이다 (열린집합열린집합). 만약  가 콤팩트하지 않은 경우  의 상은 조밀 집합이다.

임의의 위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

연산과의 호환편집

임의의 두 국소 콤팩트 하우스도르프 공간  ,  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

여기서  점을 가진 공간위상 동형이며,  는 두 점을 가진 공간분쇄곱이다.

함자성편집

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

그렇다면, 알렉산드로프 콤팩트화는 함자

 

를 이룬다. 특히, 임의의 연속 고유 함수  에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 연속 함수  가 존재한다.

 

편집

유클리드 공간  의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구  위상 동형이다.

가산 무한 개의 열린 구간  의 알렉산드로프 콤팩트화는 하와이 귀고리위상 동형이다.

역사편집

파벨 세르게예비치 알렉산드로프가 1924년 정의하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Alexandroff, P.S. (1924년 9월). “Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 92 (3–4): 294–301. doi:10.1007/BF01448011. ISSN 0025-5831. JFM 50.0128.04. 

외부 링크편집