양의 정부호 함수

수학에서, 양의 정부호 함수(영어: positive-definite function)는 음이 아닌 함수의 푸리에 변환으로 볼 수 있는 복소함수이다.

정의편집

국소 콤팩트 아벨 위상군   위의 함수  가 다음 성질을 만족시킨다면,  양의 정부호 함수라고 한다.

  • (켤레 짝함수성) 모든  에 대하여,  
  • (준정부호성) 모든 유한 부분집합  에 대하여,   에르미트 행렬  양의 준정부호 행렬이다.

성질편집

보흐너 정리(영어: Bochner’s theorem)에 따라서,   위의 양의 정부호 함수의 푸리에 변환은 그 폰트랴긴 쌍대군   위의 양의 유한 보렐 측도를 이루며, 그 역 또한 성립한다.

양의 정부호 함수  에 대하여,

  •  에 대하여,  는 양의 정부호이다. 즉, 양의 정부호 함수들은 음이 아닌 계수의 선형결합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 이들은 뿔(cone)을 이룬다.
  •  는 양의 정부호이다.
  •  는 양의 정부호이다.

모든 양의 정부호 함수  에 대하여, 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서,  인 경우에서 유래한다.)

  •  
  • 모든  에 대하여,  

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양의 정부호 함수의 대표적인 예는 유클리드 공간   위의 가우스 핵

 

이다. 가우스 핵의 푸리에 변환은 다른 가우스 핵이므로, 보흐너 정리에 따라 이는 양의 정부호임을 쉽게 알 수 있다.

다른 예로는   위의  ,  , 삼각형함수   등이 있다. 이들 역시 푸리에 변환을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 실수가 아닌 양의 정부호 함수로는  가 있다.

음이 아닌 상수함수   ( )는 자명하게 양의 정부호 함수이다. 이 경우,   행렬  의 모든 원소가  이며, 이 행렬의 고윳값  (중복도 1)과   (중복도  )이다. 따라서 이 행렬은 양의 준정부호다.

참고 문헌편집

  • Berg, Christian; Jens Peter Reus Christensen, Paul Ressel. 《Harmonic Analysis on Semigroups》. Graduate Texts in Mathematics (영어). Springer. 
  • Sasvári, Z. (1994). 《Positive definite and definitizable functions》 (영어). Akademie Verlag. 
  • Wells, J. H.; L. R. Williams (1975). 《Embeddings and extensions in analysis》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 84. Springer. 

외부 링크편집