에구치-핸슨 공간

이론물리학에서 에구치-핸슨 공간(Eguchi[江口]-Hanson空間, 영어: Eguchi–Hanson space)은 4차원 초켈러 다양체의 하나이며, A₁ 점근 국소 유클리드 공간이다. 즉, 콤팩트하지 않으며, 점근적으로 (즉, 중심에서 멀리 떨어져) $\mathbb {C} ^{2}/\mathbb {Z} _{2}$ 의 꼴이다. 중력적 순간자의 일종으로 해석할 수 있다.

정의 편집

에구치-핸슨 공간은 위상수학적으로 $\mathrm {T} ^{*}\mathbb {S} ^{2}$ (2차원 구면의 여접다발)이다. 복소수 좌표 $z_{1},z_{2}$ 에 대하여, 계량 텐서는 다음과 같다.

g_{i{\bar {\jmath }}}={\sqrt {a^{4}/r^{4}+1}}\left(\delta _{i{\bar {\jmath }}}+z_{i}{\bar {z}}_{\bar {j}}/(r^{2}(1+r^{4}/a^{4}))\right)

여기서 $r^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}$ 이고, $a$ 는 순간자의 크기를 나타내는 매개 변수다. 이 좌표에서 $(z_{1},z_{2})=(-z_{1},-z_{2})$ 로 간주하면, $r=0$ 에서 특이점이 없음을 보일 수 있다.

이는 퍼텐셜

V({\vec {r}})={\frac {1}{\|{\vec {r}}||}}+{\frac {1}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}\|}}

에 대한 기번스-호킹 가설 풀이로 구성될 수 있다.

성질 편집

에구치-핸슨 공간은 SU(2)=USp(2) 홀로노미를 가진다. 따라서 이는 칼라비-야우 다양체이자 초켈러 다양체이다.

에구치-핸슨 공간의 호지 수들은 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1		0
	0		0
		1

여기서 유일한 2차 호몰로지는 반 자기 쌍대(anti-self-dual)이다. 즉, 반(反) 자기 쌍대 2차 미분 형식 (양-밀스 순간자)이 존재한다.

역사 편집

에구치 도루(일본어: 江口徹 (えぐちとおる))와 앤드루 핸슨(영어: Andrew J. Hanson)이 1978년 발견하였다.^[1]^[2]^[3] 이와 거의 동시에 에우제니오 칼라비도 같은 공간을 독자적으로 발견하였다.^[4]

참고 문헌 편집

↑ Eguchi, Tohru; Andrew J. Hanson (1978년 4월 10일). “Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 74 (3): 249–251. Bibcode:1978PhLB...74..249E. doi:10.1016/0370-2693(78)90566-X. ISSN 0370-2693.
↑ Eguchi, Tohru; Andrew J. Hanson (1979년 7월). “Self-dual solutions to Euclidean gravity” (PDF). 《Annals of Physics》 (영어) 120 (1): 82–105. Bibcode:1979AnPhy.120...82E. doi:10.1016/0003-4916(79)90282-3. ISSN 0003-4916.
↑ Eguchi, Tohru; Andrew J. Hanson (1979년 12월). “Gravitational instantons” (PDF). 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 11 (5): 315–320. Bibcode:1979GReGr..11..315E. doi:10.1007/BF00759271. ISSN 0001-7701.
↑ Calabi, Eugenio (1979). “Métriques kählériennes et fibrés holomorphes”. 《Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (영어) 12 (2): 269–294. doi:10.24033/asens.1367. MR 543218. Zbl 0431.53056.

Malmendier, Andreas (2003년 9월). “The eigenvalue equation on the Eguchi-Hanson space”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 44 (9): 4308–4343. arXiv:math/0210081. Bibcode:2003JMP....44.4308M. doi:10.1063/1.1579548. ISSN 0022-2488.

같이 보기 편집

[1] Eguchi, Tohru; Andrew J. Hanson (1978년 4월 10일). “Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 74 (3): 249–251. Bibcode:1978PhLB...74..249E. doi:10.1016/0370-2693(78)90566-X. ISSN 0370-2693.

[2] Eguchi, Tohru; Andrew J. Hanson (1979년 7월). “Self-dual solutions to Euclidean gravity” (PDF). 《Annals of Physics》 (영어) 120 (1): 82–105. Bibcode:1979AnPhy.120...82E. doi:10.1016/0003-4916(79)90282-3. ISSN 0003-4916.

[3] Eguchi, Tohru; Andrew J. Hanson (1979년 12월). “Gravitational instantons” (PDF). 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 11 (5): 315–320. Bibcode:1979GReGr..11..315E. doi:10.1007/BF00759271. ISSN 0001-7701.

[4] Calabi, Eugenio (1979). “Métriques kählériennes et fibrés holomorphes”. 《Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (영어) 12 (2): 269–294. doi:10.24033/asens.1367. MR 543218. Zbl 0431.53056.

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[2]

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