에우클레이데스의 원론

《에우클레이데스의 원론》은 고대 그리스의 수학자 에우클레이데스(유클리드)가 기원전 3세기에 집필한 책으로, 총 13권으로 구성되어 있다. 원래 제목인 그리스어 '스토이케이아(그리스어: Στοιχεῖα)' 는 '원소', '구성 요소', '글자' 등을 뜻한다.

《원론》의 영어판 표지. 실제 저자는 '알렉산드리아'의 에우클레이데스지만, 영어판 번역자는 '메가라'의 에우클레이데스로 잘못 표기하였다.

흔히 ‘세계 최초의 수학 교과서’라 일컬어지는 이 책은 기하학 원본이라 불리기도 하며, 에우클레이데스는 여기서 정의 131개와 공리 5개, 공준 5개에만 근거를 두고 465개의 명제 각각을 엄밀하게 증명할 수 있는 방법들을 기록해두었다.

주요 내용

《원론》의 내용은 다음과 같다. 제 1권에서 제 4권까지는 2차원(평면) 기하학에 관한 내용을 담고 있다.

• 제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다. 18세기까지 기하학 교과서로 쓰인 이유도 여기에 있다.
• 제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화이다.
• 제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.
• 제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

제 5권부터 비율과 비례로부터 시작해 기초적인 수론을 다룬다. 제 6권에서는 제 4권에 이어 이를 도형에 적용하고 제 10권까지 다시 수론을 다룬다.

• 제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작 중의 하나로 간주된다.
• 제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.
• 제7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.
• 제8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.
• 제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.
• 제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분의 길이를 단위로 재어 비율로 나타낼 수 없는 길이를 다루고 있다.

제 11권에서 제 13권까지는 3차원 기하학에 관한 내용들 담고 있다.

• 제11권 : 선과 면·면과 면·평행육면체·정육면체·각기둥
• 제12권 : 원의 면적과 각뿔·각기둥·원뿔·원기둥·구의 체적(단, 원주율은 쓰지 않음. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하고 구의 체적은 지름의 세제곱에 비례함을 이용)
• 제13권 : 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명함.

유클리드 원론 제2권 법칙4

$\;{\overline {AB}}$에서 임의의 한 점 $C$에대해서 ${\overline {CB}}={\overline {BI}}={\overline {AH}}$이고, ${\overline {AB}}={\overline {BD}}={\overline {ED}}$이므로, ${\overline {AC}}={\overline {EF}}={\overline {EH}}$ ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+2\left({\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\right)$ 따라서, ${\overline {AC}}={\overline {HE}}=a$ ${\overline {CB}}={\overline {AH}}=b$ ${\overline {AC}}+{\overline {CB}}={\overline {AB}}={\overline {AE}}=c$일때, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $c^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 이것은 대표적인 곱셈공식이다.

제1권 법칙47

${\overline {AC}}^{2}={\overline {AO}}\cdot {\overline {AG}}\qquad ,\qquad {\overline {BC}}^{2}={\overline {OB}}\cdot {\overline {BF}}$

${\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}=\left({\overline {AO}}\cdot {\overline {AG}}\right)+\left({\overline {OB}}\cdot {\overline {BF}}\right)$

${\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}$

유클리드의 피타고라스 정리 증명은 닮음꼴 이론을 사용하지 않음으로써 순수하게 기하학적이다.

${\overline {AC}}=b\;\;.\;\;{\overline {BC}}=a\;\;,\;\;{\overline {AB}}=c$일때,

$b^{2}+a^{2}=c^{2}$

2권 법칙 12

유클리드 원론 2권 법칙4 에서, 직각삼각형$\triangle {ABD}$에서 둔각삼각형 $\triangle {ABC}$는 $,\;{\overline {BD}}$의 임의의 한점 $C$에대해서, ${\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)$ ${\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;$ 그리고, ${\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;$ ${\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}\;\;$ 따라서, ${\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}$ ${\overline {AB}}^{2}=\left({\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)\right)+\left({\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}\right)$ ${\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)$

그리고

$cos(\pi -\alpha )={{\overline {CD}} \over {\overline {AC}}}$ ${\overline {CD}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\alpha )$ ${\overline {CD}}=-{\overline {AC}}\cos \alpha$ 따라서, ${\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)$ ${\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-2\left({\overline {BC}}\cdot {{\overline {AC}}\cos \alpha }\right)$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha$

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

2권 법칙13

예각삼각형을 예약하고, 이것을 $cosine$에대해 나타내보면, ${\overline {BC}}={\overline {BD}}+{\overline {DC}}$ $\cos B={{\overline {BD}} \over {c}}$ $\cos Bc={\overline {BD}}$ $\cos C={{\overline {DC}} \over {b}}$ $\cos Cb={\overline {DC}}$ 따라서, ${\overline {BC}}={\overline {BD}}+{\overline {DC}}$ $a=c\cos B+b\cos C$ 이것은, 코사인법칙의 제1코사인법칙이다. $a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C,c=a\cos B+b\cos A$

3권 법칙 3

원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고, 두 점 사이의 거리에서, $l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}$이므로, $D=(\cos \;\alpha ,\sin \;\alpha )\;\;,\;\;C=(\cos \beta ,\sin \beta )$ ${\overline {DC}}^{2}=(\cos \beta -\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta -\sin \;\alpha )^{2}$ $=\left((\cos \beta -\cos \;\alpha )\cdot (\cos \beta -\cos \;\alpha )\right)+\left((\sin \beta -\sin \;\alpha )\cdot (-\sin \beta -\sin \;\alpha )\right)$ $=\left((\cos \beta )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta +(\cos \;\alpha )^{2}\right)+\left((\sin \beta )^{2}-2\sin \alpha \sin \beta +(\sin \alpha )^{2}\right)$ $=(\cos \beta )^{2}+(\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta )^{2}+(\sin \alpha )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta$ $=(\cos ^{2}\beta +\cos \;\alpha ^{2})+(\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\alpha )-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$ 그리고 삼각함수 항등식의 피타고라스 정리에서, $\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1$ 따라서, $=1+1-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$ ${\overline {DC}}^{2}=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$

한편,

이것은, 제2코사인법칙에서는,

${\overline {DC}}^{2}={\overline {OD}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}-2\left({\overline {OD}}\cdot {{\overline {OC}}\cos(\alpha -\beta )}\right)$

${\overline {DC}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1\cos(\alpha -\beta }\right))$

${\overline {DC}}^{2}=2-2\cos \left({\alpha -\beta }\right)$

그리고,

${\overline {DC}}^{2}=2-2\cos \left({\alpha -\beta }\right)=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$

따라서,

$\cos \left({\alpha -\beta }\right)=\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$

이렇게 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수에 접근해볼 수 있다.

2권 법칙 9

정삼각형에서 ${\overline {AE}}=1$을 예약하고, ${{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }$ ${{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }$ ${{\overline {FD}} \over {AF}}={\sin \beta }$ $sina$ ${{\overline {EG}} \over {\overline {EF}}}={\cos \beta }$ ${\overline {EG}}={\cos \beta }{\overline {EF}}={\cos \beta }\,{\sin \alpha }$ ${\sin(\alpha +\beta )}={{{\overline {EG}}+{\overline {GC}}} \over {1}}$ ${\sin(\alpha +\beta )}={{\cos \beta }\,{\sin \alpha }}+{\sin \beta \cos \alpha }$ 이것은 삼각함수의 덧셈정리중 사인함수이다. 한편,예약된 정삼각형에서, ${\overline {AE}}=1,\angle A=\angle E=\angle B,\angle A=\angle \alpha +\angle \beta ,\angle \alpha =\angle \beta$ ${{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }$ ${{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }$ ${{\overline {AD}} \over {AF}}={\cos \beta }$ ${\overline {AD}}={\cos \beta }{\overline {AF}}$ ${\overline {AD}}={\cos \beta }\,{\cos \alpha }$ ${{\overline {GF}} \over {\overline {EF}}}={\sin \beta }$ ${\overline {GF}}={\sin \beta }{\overline {EF}}$ ${\overline {GF}}={\sin \beta }\,{\sin \alpha }$ ${\overline {GF}}={\overline {CD}}={\sin \beta }\,{\sin \alpha }$ ${\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AC}} \over {1}}$ ${\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AD}}-{\overline {CD}}}$ ${\cos(\alpha +\beta )}={\cos \beta \cos \alpha }-{\sin \beta \sin \alpha }$ 이것은 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수이다.

3권 법칙 8

기하학에서, 두 점 사이의 거리는 좌표평면에서 임의의 두 점 $D(x_{1},y_{1}),K(x_{2},y_{2})$을 예약하고, 점 $D(x_{1},y_{1})$에서 $x$축에 평행하게 그은 직선과 점 $K(x_{2},y_{2})$에서 $y$축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점 $N$을 예약할 수 있다. 두 점 $D,K$ 사이의 거리를 $l$이라고 가정했을때, $\triangle NDK$는 $l$을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, ${\overline {NK}}=x_{2}-x_{1}\;,\;{\overline {ND}}=y_{2}-y_{1}$이므로, $l,{\overline {ND}},{\overline {NK}}$은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다. ${\begin{aligned}l^{2}&={\overline {NK}}^{2}+{\overline {ND}}^{2}\\&=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\end{aligned}}$ $\Leftrightarrow l={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ 따라서, 좌표평면에서 두 점 $D(x_{1},y_{1}),K(x_{2},y_{2})$가 있을 때 두 점 사이의 거리 $l$은 다음과 같다. $l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}$

2권 법칙 5와 6

임의의 선분 ${\overline {AB}}$을 예약하고, ${\overline {AB}}$을 이등분하는 점$C$를 가정하면, ${\overline {AD}}={\overline {AC}}+{\overline {CD}}={\overline {CD}}+{\overline {CB}}$ ${\overline {BD}}=\qquad \qquad \qquad {\overline {CD}}-{\overline {CB}}$ ${\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}=\left({\overline {CD}}+{\overline {CB}}\right)\left({\overline {CD}}-{\overline {CB}}\right)={\overline {CD}}^{2}-{\overline {CB}}^{2}$ ${\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}$ 이것은 대표적인 곱셈공식으로부터 유도되는 피타고라스 정리의 변형이다.

피타고라스 정리의 변형

${\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}$

$\left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}$

${\overline {CD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}$

$\left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {FH}}^{2}$

$\left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {CD}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}+{\overline {FH}}^{2}$

$\left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}$

$\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}$

$\left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}$

그리고,${\overline {CD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}$ 이므로,

${\overline {CD}}^{2}=\left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)$이고,

$\left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)+\left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)={\overline {FH}}^{2}$

피타고라스 정리 응용

${\overline {CB}}={\overline {CD}}-{\overline {DB}}$

$\left({\overline {CB}}\right)^{2}=\left({\overline {CD}}-{\overline {DB}}\right)^{2}$

${\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}-2{\overline {CD}}{\overline {DB}}+{\overline {DB}}^{2}$

${\overline {CB}}^{2}+2{\overline {CD}}{\overline {DB}}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {DB}}^{2}$

${\overline {DB}}={\overline {DH}}={\overline {MH}}$

${\overline {CH}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {DB}}^{2}$이고,

${\overline {CB}}^{2}+2{\overline {CD}}{\overline {DB}}={\overline {CH}}^{2}$

같이 보기

• 에우클레이데스
• 유클리드 기하학

참고 자료

• 기하학 원론 가~자, 이무현 번역, 1997, 교우사.
• "David Joyce Home Page"-"Euclid's Elements"
• 유클리드의 기하학 원론(무료 다운로드, 코이네 그리스어)
• 구텐베르크 프로젝트-유클리드 기하학 원론,1885,John Casey(무료 다운로드,영문)

외부 링크

• Euclid's Elements (영어) (유클리드의 원론 1~13 권 속의 정의, 공준, 공리, 명제의 내용과 그에 대한 설명, 그리고 명제의 증명)