대수기하학에서, 에탈 기본군(étale基本群, 영어: étale fundamental group)은 대수다양체스킴에 대하여 정의되는 기본군이다.

정의편집

에탈 기본군은 대수적 위상수학갈루아 이론 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다.

대수적 위상수학 갈루아 이론 대수기하학
피복 공간   분해 가능 확대   유한 에탈 사상  
범피복 공간 분해 가능 폐포 유한 에탈 사상들의 범주  
기본군 절대 갈루아 군 에탈 기본군

연결 스킴  기하점(영어: geometric point)   에서의 줄기  잉여류체를 포함하는 분해 가능 폐포  이다. 즉, 다음과 같은 사상

 

를 합성하여, 사상  를 정의할 수 있다. 이는   속의,   값의 좌표를 갖는 점으로 여긴다.

 공역으로 하는 유한 에탈 사상들의 범주를  라고 쓰자. (에탈 코호몰로지와 달리, 여기에 그로텐디크 위상을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상   의 기하점  이 주어졌을 때, 기하올(영어: geometric fibre)  을 스킴의 범주의 올곱으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수  에 대하여  와 동형이다.

따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 요네다 매장을 생각하자.

 
 

이는 기하학적으로  를 그 원상 ”에 대응시킨다. 이들 집합들은 사상에 따라 사영계(영어: projective system)를 이룬다. 따라서 다음과 같은 역극한을 취할 수 있으며, 이를  의 밑점  에서의 에탈 기본군이라고 한다.

 

이는 유한군역극한이므로, 사유한군을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

 

여기서, 범주   작용을 갖는 집합들의 범주이다.

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체의 에탈 기본군편집

 가 주어졌을 때,  의 밑점   분해 가능 폐포  과 대응한다. (모든 분해 가능 폐포들은 서로 동형이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점  에서의 에탈 기본군은  절대 갈루아 군과 동형이다.

 

복소 대수다양체의 에탈 기본군편집

복소 유한형 스킴  의 에탈 기본군은 그 복소해석공간  의 (대수적 위상수학적) 기본군사유한 완비이다.

 

역사편집

알렉산더 그로텐디크가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》(영어: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, SGA) 1권[1] 에서 정의하였다.

각주편집

  1. Grothendieck, Alexandre (1971). 《Revêtements étales et groupe fondamental (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1)》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 224. Paris: Société Mathématique de France. arXiv:math/0206203. ISBN 978-2-85629-141-2. 

참고 문헌편집

  • Murre, J. P. (1967), 《Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group》, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650 
  • Tamagawa, Akio (1997), “The Grothendieck conjecture for affine curves”, 《Compositio Mathematica》 109 (2): 135–194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817 

같이 보기편집

외부 링크편집