연관 소 아이디얼

환론에서, 가군연관 소 아이디얼(聯關素ideal, 영어: associated prime ideal)은 특정 부분 가군소멸자로 표현될 수 있는 소 아이디얼이다. 가환환 위의 가군연관 소 아이디얼대수기하학적으로 준연접층으로서의 지지 집합과 관련되며, 또 부분 가군으뜸 분해에 사용된다.

정의편집

 왼쪽 가군  이 다음 조건을 만족시킨다면,  소가군(영어: prime module)이라고 한다.

  • 임의의 부분 가군  에 대하여,  이거나  이다.

(여기서  소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.[1]:85

증명:

만약 양쪽 아이디얼   을 만족시키며  이라면,  이므로  이다.

 왼쪽 가군  연관 소 아이디얼(영어: associated prime ideal)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다.[1]:86  의 연관 소 아이디얼의 집합 로 표기한다.

만약  가환환일 때,   의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(영어: isolated associated prime ideal), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼(영어: embedded associated prime ideal)이라고 한다.

성질편집

  위의 왼쪽 가군  부분 가군  에 대하여,  이다. 만약  본질적 부분 가군이라면  이다.

유한성·비자명성편집

만약  양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시킨다면,   위의 모든 유한 생성 왼쪽 가군은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

뇌터 가환환의 경우편집

가환환   위의 가군    위의 준연접층을 정의한다. 그 지지 집합

 

을 생각하자. 만약  뇌터 가환환이라면, 다음이 성립한다.

  •  
  •  극소 원소들의 집합은  극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환   위의 왼쪽 가군  의 연관 소 아이디얼들의 합집합 영인자들의 집합과 같다.

 

뇌터 가환환   위의 왼쪽 가군  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:391, Exercise 10.9.7

편집

임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.

 

참고 문헌편집

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  2. Cohn, P. M. (2003). 《Basic Algebra》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-85729428-9.