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스펙트럼 (함수해석학)

(연속 스펙트럼에서 넘어옴)

정의편집

가환환   위의 (항등원을 갖는) 결합 대수  의 원소  분해 집합(分解集合, 영어: resolvent set)은 다음과 같은 집합이다.[1]:252, Definition 10.10

 

여기서   가역원군이다. 즉,  가역원이 되는 스칼라  들의 집합이다. 분해 집합의 여집합 스펙트럼  라고 한다.[1]:252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)

 

이 경우, 원소    에서의 분해식(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다.

 실수체 또는 복소수체이며,   -결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소  스펙트럼 반지름(spectrum半지름, 영어: spectral radius)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.[1]:253, Definition 10.10

 

만약   -바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

유계 작용소의 스펙트럼편집

 실수체 또는 복소수체라고 하자.  -바나흐 공간   위의 유계 작용소의 집합   -바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소역함수유계 작용소이다. 즉,  의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉,  -바나흐 공간   위의 유계 작용소  의 스펙트럼  는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

 

이 성분들은 각각

  • 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum)  
  • 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum)  
  • 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum)  

이며, 다음과 같다.

어떤 수  에 대하여  이려면  전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.

  •  단사 함수가 아니다. 이러한  들의 집합을 점 스펙트럼  라고 한다. 이 경우   고윳값이며,  고유 벡터  가 존재한다.
  •  단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
    •  단사 함수이지만 그 조밀 집합이 아니다. 이러한  들의 집합을 잔여 스펙트럼  라고 한다.
    •  단사 함수이며 그 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한  들의 집합을 연속 스펙트럼  라고 한다. 이 경우,   조밀 집합   위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

성질편집

복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.[1]:253, Theorem 10.13(a)[2]:756, Theorem 1

증명:[2]

복소수 바나흐 대수  의 원소  가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여  이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간  의 임의의 원소  를 고르자.

그렇다면, 이제 함수

 
 

를 정의하자. 그렇다면,

 

이다. (이는 피적분 함수가  이므로 가능하다.) 즉,  상수 함수이며, 그 값은

 

이다.

이제, 임의의  에 대하여

 

가 되므로, 사실  이어야만 한다. 즉, 임의의  에 대하여  이어야만 한다. 그런데  이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.

복소수 바나흐 대수  의 원소  의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식(영어: Gelfand formula)에 의하여 주어진다.[3]:195–197

 

(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)

 에 대하여,  -바나흐 공간 위의 유계 작용소  의 스펙트럼은 항상   속의 콤팩트 집합이다.[1]:253, Theorem 10.13(a) 특히

 

이다. 여기서  작용소 노름이다.

유한 차원편집

 가 유한 차원  -바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면,  -선형 변환  단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원  -바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환  (즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

콤팩트 작용소편집

복소수 바나흐 공간   위의 콤팩트 작용소  의 경우, 다음이 성립한다.

  • 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는  이다.
  • 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는  이다.

즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

정규 작용소편집

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간   위의 정규 작용소  의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.

 

보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소수치 반지름(數値半지름, 영어: numerical radius)이라고 하며, 그스펙트럼 반지름이 그 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, 영어: spectraloid operator)라고 한다.

분해식편집

 -바나흐 대수  의 원소   에 대하여, 만약  라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.[1]:250, Chapter 10

 

증명:

위 급수는 당연히 코시 열이며,  바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.

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행렬편집

실수 행렬

 

  위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는   위의 작용소로서 점 스펙트럼  를 갖는다.

시프트편집

복소수 힐베르트 공간  를 생각하자. 그렇다면 사상

 

유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다.  고윳값을 가지지 않지만,  전사 함수가 아니므로  의 스펙트럼은  이다. 이 경우,  은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

곱셈편집

임의의  에 대하여, 측도 공간   위의 르베그 공간

 

 -바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수

 

유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합  에 대하여  의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서  보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

 
 

 -유계 작용소이다.

이제, 집합

 

를 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  이다.

증명 ( ):

임의의  가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라

 

인 양의 실수  이 존재한다.

그렇다면, 가측 함수

 
 

를 생각하자. 그렇다면,

 

이다. 따라서  이다.

증명 ( ,  ):

임의의  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

 

을 정의하자. (여기서  지시 함수이다.)

그렇다면,

 

이므로, 특히

 

이다. 이에 따라,  의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

증명 ( ,  ):

임의의  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

 

을 정의하자. (여기서  지시 함수이다.)

그렇다면,

 

이므로, 특히

 

이다. 이에 따라,  의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

임의의  에 대하여, 만약  이라면,  이며, 만약 그렇지 않다면  이다. 특히,  는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

증명 ( ):

지시 함수   고유 벡터이다.

증명 ( ):

임의의

 

에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

 

여기서  지시 함수이다.

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라

 

이다. 즉,  은 항상 조밀 집합이다.

결합 대수편집

가환환  를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소  의 스펙트럼은

 

이다. (여기서  가역원군이다.)

사원수 대수  실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수  의 스펙트럼은 다음과 같다.

 

(특히, 만약  이라면  이다.)

마찬가지로, 복소수체  실수 바나흐 대수로 간주하였을 때,  의 스펙트럼은 다음과 같다.

 

(특히, 만약  이라면  이다.) 물론,  복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때,  이다.

연속 함수 대수편집

콤팩트 하우스도르프 공간   위의  -바나흐 대수  의 원소  의 스펙트럼은 그 이다.

 

역사편집

유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.[4]

"스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸[*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테[*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

응용편집

양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간

 

위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜

 

이 주어졌으며,

 

이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자

 

 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수

 

에 대하여 유계 작용소

 

를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상

 

의 꼴이다. 이에 따라,   의 "스펙트럼"으로 여길 수 있다.

 의 경우,  의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

참고 문헌편집

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 
  2. Singh, Dinesh (2006년 10월). “The spectrum in a Banach algebra”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 113 (8): 756–758. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642038. doi:10.2307/27642038. 
  3. Lax, Peter D. (2002). 《Functional analysis》 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-55604-1. 
  4. Fredholm, E. I. (1903). “Sur une classe d’equations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27: 365–390. doi:10.1007/bf02421317. 

외부 링크편집