다음 데이터가 주어졌다고 하자.
n
{\displaystyle n}
차원 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
E
{\displaystyle E}
위의 라플라스형 연산자 는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의,
E
{\displaystyle E}
위의 2차 미분 연산자 이다.[ 1] :65, Definition 2.2
H
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle H\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
H
=
g
i
j
(
x
)
∂
i
∂
j
+
A
i
(
x
)
∂
i
+
B
(
x
)
(
A
i
∈
Γ
∞
(
E
⊗
T
M
)
,
B
∈
Γ
∞
(
E
)
)
{\displaystyle H=g^{ij}(x)\partial _{i}\partial _{j}+A^{i}(x)\partial _{i}+B(x)\qquad (A^{i}\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} M),\;B\in \Gamma ^{\infty }(E))}
여기서
Γ
∞
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }}
는 매끄러운 단면 의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을
Γ
0
{\displaystyle \Gamma ^{0}}
로 표기하자.
다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량
g
{\displaystyle g}
와 코쥘 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
및 매끄러운 단면
T
∈
Γ
∞
(
E
⊗
E
∗
)
{\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}
에 대하여
H
s
=
g
i
j
∇
i
∇
j
s
+
T
s
{\displaystyle Hs=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}s+Ts}
의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자 이다.
이제,
|
Λ
(
M
)
|
1
/
2
{\displaystyle |\Lambda (M)|^{1/2}}
가
M
{\displaystyle M}
위의, 무게
n
/
2
{\displaystyle n/2}
의 밀도 다발 이라고 하자. (이는
M
{\displaystyle M}
의 방향 과 관계없이 정의된다.) 그렇다면,
R
+
×
M
×
M
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times M\times M}
위에 다음과 같은,
(
dim
E
)
2
{\displaystyle (\dim E)^{2}}
차원 벡터 다발 을 생각하자.
F
=
(
E
⊗
R
|
Λ
(
M
)
|
1
/
2
)
⊠
(
E
∗
⊗
R
|
Λ
(
M
)
|
1
/
2
)
{\displaystyle F=(E\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})}
M
{\displaystyle M}
이 콤팩트 공간 일 경우,
H
{\displaystyle H}
의 열핵
K
(
t
,
x
,
y
)
∈
Γ
0
(
F
)
{\displaystyle K(t,x,y)\in \Gamma ^{0}(F)}
은 다음 조건들을 만족시키는,
F
{\displaystyle F}
의 (연속) 단면 이다.
t
{\displaystyle t}
에 대하여
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
함수이다. 즉,
∂
K
(
t
,
x
,
y
)
/
∂
t
{\displaystyle \partial K(t,x,y)/\partial t}
가 존재하며, 연속 함수
R
+
×
M
×
M
→
F
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times M\times M\to F}
를 이룬다.
x
{\displaystyle x}
에 대하여
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}
함수이다. 즉,
∂
2
K
(
t
,
x
,
y
)
/
∂
x
i
∂
x
j
{\displaystyle \partial ^{2}K(t,x,y)/\partial x^{i}\partial x^{j}}
가 연속적으로 존재한다.
열 방정식 이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.
(
∂
∂
t
−
H
)
K
(
t
,
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(t,x,y)=0}
(초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의
s
∈
Γ
∞
(
E
⊗
R
|
Λ
(
M
)
|
1
/
2
)
{\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }({\mathcal {E}}\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})}
에 대하여,
lim
t
→
0
∫
K
(
t
,
x
,
y
)
s
(
y
)
d
y
=
s
(
x
)
{\displaystyle \lim _{t\to 0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm {d} y=s(x)}
여기서 극한은
M
{\displaystyle M}
위의 균등 노름 에 대한 것이다.
만약
M
{\displaystyle M}
이 콤팩트 공간 이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.
만약
M
{\displaystyle M}
이 리만 계량 이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체 라고 하고,
E
{\displaystyle E}
가 그 위의 매끄러운 벡터 다발 이라고 하자. 또한, 마찬가지로
E
{\displaystyle E}
위의 라플라스형 연산자 가 주어졌다고 하자.
이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를
n
{\displaystyle n}
이라고 하자. 그렇다면, 단면
s
∈
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}
위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건 을 생각할 수 있다.
s
↾
∂
M
=
s
0
{\displaystyle s\upharpoonright \partial M=s_{0}}
또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건 을 생각할 수 있다.
(
∇
X
s
)
↾
∂
M
+
A
(
s
↾
∂
M
)
=
s
0
{\displaystyle (\nabla _{X}s)\upharpoonright \partial M+A(s\upharpoonright \partial M)=s_{0}}
여기서
A
∈
Γ
∞
(
∂
M
,
End
E
)
{\displaystyle A\in \Gamma ^{\infty }(\partial M,\operatorname {End} E)}
이다.
이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.
만약
M
{\displaystyle M}
이 콤팩트 리만 다양체 라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.[ 1]
콤팩트 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 실수 값 매끄러운 함수 에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.
H
f
=
Δ
f
+
∇
X
f
+
C
{\displaystyle Hf=\Delta f+\nabla _{X}f+C}
여기서
X
∈
Γ
∞
(
T
M
)
{\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}
는
M
{\displaystyle M}
위의 임의의 벡터장 이며,
C
∈
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
는 임의의 스칼라장이다.
이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분 을 통해 다음 성질을 만족시킨다.
∂
∂
t
∫
M
K
(
t
,
x
,
y
)
d
x
=
∫
M
H
K
(
t
,
x
,
y
)
d
x
=
∫
M
(
Δ
+
∇
X
+
C
)
K
(
t
,
x
,
y
)
d
x
=
C
(
y
)
∫
M
K
(
t
,
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{M}HK(t,x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{M}(\Delta +\nabla _{X}+C)K(t,x,y)\,\mathrm {d} x=C(y)\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x}
즉,
F
(
t
,
y
)
=
∫
M
K
(
t
,
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle F(t,y)=\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x}
로 놓으면 다음이 성립한다.
F
(
t
0
+
s
,
y
)
=
exp
(
C
(
y
)
s
)
F
(
t
0
,
y
)
{\displaystyle F(t_{0}+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_{0},y)}
특히, 만약
C
=
0
{\displaystyle C=0}
이라고 하면,
F
(
t
,
y
)
{\displaystyle F(t,y)}
는
t
{\displaystyle t}
에 의존하지 않으며, 이 경우
t
→
0
{\displaystyle t\to 0}
에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수
F
(
t
,
y
)
=
1
{\displaystyle F(t,y)=1}
가 된다.
콤팩트 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
위의 라플라스형 연산자
H
{\displaystyle H}
의 열핵
K
(
t
,
x
,
y
)
{\displaystyle K(t,x,y)}
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
K
(
t
+
t
′
,
x
,
y
)
=
∫
M
K
(
t
,
x
,
z
)
K
(
t
′
,
z
,
y
)
d
z
{\displaystyle K(t+t',x,y)=\int _{M}K(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm {d} z}
즉, 이는 반군 준동형
K
:
(
R
+
,
+
)
→
(
E
⊗
|
Λ
M
|
1
/
2
)
⊠
(
E
∗
⊗
|
Λ
M
|
1
/
2
)
{\displaystyle K\colon (\mathbb {R} ^{+},+)\to (E\otimes |\Lambda M|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes |\Lambda M|^{1/2})}
K
:
t
↦
K
(
t
,
−
,
−
)
{\displaystyle K\colon t\mapsto K(t,-,-)}
을 정의한다. (여기서
(
R
+
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},+)}
는 양의 실수들의 덧셈 반군 이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드 가 아니다.) 이를 열핵의 반군 성질 (半群性質, 영어 : semigroup property )이라고 한다.
이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어,
E
=
M
×
R
{\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }
가 자명한 선다발 이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각
t
0
∈
R
+
{\displaystyle t_{0}\in \mathbb {R} ^{+}}
에서, 콤팩트 공간
M
×
M
{\displaystyle M\times M}
위의 실수 값 연속 함수
K
(
t
0
,
−
,
−
)
{\displaystyle K(t_{0},-,-)}
는 최댓값
max
(
x
,
y
)
∈
M
2
K
(
t
0
,
x
,
x
)
=
C
t
0
{\displaystyle \max _{(x,y)\in M^{2}}K(t_{0},x,x)=C_{t_{0}}}
을 갖는다. 그렇다면,
t
0
{\displaystyle t_{0}}
초과의 임의의 시각
t
∈
R
+
{\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}
,
t
>
t
0
{\displaystyle t>t_{0}}
에서,
K
(
t
,
x
,
y
)
=
∫
M
K
(
t
0
,
x
,
z
)
K
(
t
−
t
0
,
z
,
y
)
d
z
≤
C
t
0
∫
M
K
(
t
−
t
0
,
z
,
y
)
d
z
=
C
t
0
{\displaystyle K(t,x,y)=\int _{M}K(t_{0},x,z)K(t-t_{0},z,y)\,\mathrm {d} z\leq C_{t_{0}}\int _{M}K(t-t_{0},z,y)\,\mathrm {d} z=C_{t_{0}}}
이다.
따라서, 함수
C
:
R
+
→
R
+
{\displaystyle C\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}
C
:
t
↦
max
(
x
,
y
)
∈
M
2
K
(
t
,
x
,
y
)
{\displaystyle C\colon t\mapsto \max _{(x,y)\in M^{2}}K(t,x,y)}
는 항상 감소 함수 이다.
콤팩트
n
{\displaystyle n}
차원 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 매끄러운 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
위의 라플라스형 연산자
H
{\displaystyle H}
가 주어졌을 때, 그 열핵
K
H
{\displaystyle K_{H}}
는 다음과 같은 꼴로 전개된다.[ 1] :81–82, §2.5 [ 4] :(1.13)
K
H
(
t
,
x
,
y
)
=
1
(
4
π
t
)
n
/
2
exp
(
−
d
(
x
,
y
)
/
4
t
)
∑
i
=
0
∞
t
i
f
i
(
x
,
y
)
{\displaystyle K_{H}(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}f_{i}(x,y)}
여기서
f
i
∈
Γ
∞
(
(
E
⊗
|
Λ
M
|
)
⊠
(
E
∗
⊗
|
Λ
M
|
)
)
{\displaystyle f_{i}\in \Gamma ^{\infty }\left((E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\boxtimes (E^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\right)}
이다.
약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의
f
∈
Γ
∞
(
End
(
E
)
)
{\displaystyle f\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (E))}
에 대하여,[ 4] :(2.21)
tr
(
f
exp
(
−
t
H
)
)
=
∑
i
∈
2
N
t
(
i
−
n
)
/
2
a
i
(
f
,
H
)
{\displaystyle \operatorname {tr} (f\exp(-tH))=\sum _{i\in 2\mathbb {N} }t^{(i-n)/2}a_{i}(f,H)}
위 합에서는 오직 짝수
i
{\displaystyle i}
만이 등장한다.[ 4] :§4.1 만약
M
{\displaystyle M}
이 콤팩트 경계다양체 인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수
i
{\displaystyle i}
역시 등장할 수 있다.
M
{\displaystyle M}
위의 라플라스형 연산자
H
=
g
i
j
∇
i
∇
j
+
T
{\displaystyle H=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}+T}
가 주어졌다고 하자. 만약
M
{\displaystyle M}
이 콤팩트 다양체이며,
T
{\displaystyle T}
가 에르미트 작용소 라고 하자. 그렇다면,
H
{\displaystyle H}
를 복소수 힐베르트 공간
H
=
L
2
(
M
;
E
⊗
R
C
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}
에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리 에 의하여 그 실수 고윳값 들이 존재한다. 또한, 만약
T
{\displaystyle T}
의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.
0
=
λ
0
<
−
λ
1
≤
−
λ
2
≤
−
λ
3
≤
⋯
{\displaystyle 0=\lambda _{0}<-\lambda _{1}\leq -\lambda _{2}\leq -\lambda _{3}\leq \cdots }
이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간
L
2
(
M
;
E
⊗
R
C
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(M;E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}
의 정규 직교 기저 를
ϕ
i
{\displaystyle \phi _{i}}
라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.
K
(
t
,
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
∞
exp
(
−
λ
i
)
ϕ
i
(
x
)
ϕ
i
(
y
)
{\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i})\phi _{i}(x)\phi _{i}(y)}
그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
위의 실수 값 매끄러운 함수 에 대한 라플라스형 연산자
H
=
Δ
+
C
{\displaystyle H=\Delta +C}
의 열핵은 다음과 같다.[ 4] :(1.12)
K
(
t
,
x
,
y
)
=
1
(
4
π
t
)
n
/
2
exp
(
t
C
−
‖
x
−
y
‖
2
/
4
t
)
{\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\exp(tC-\|x-y\|^{2}/4t)}
이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다.[ 5] 예를 들어, 구
S
2
=
SU
(
2
)
/
U
(
1
)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\operatorname {SU} (2)/\operatorname {U} (1)}
위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.[ 6] :328, (1)
K
(
t
,
g
U
(
1
)
,
1
SU
(
2
)
U
(
1
)
)
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
+
1
)
exp
(
−
n
(
n
+
1
)
t
/
2
)
P
n
(
(
tr
g
)
2
+
(
tr
(
i
σ
3
g
)
)
2
2
−
1
)
(
t
∈
R
+
,
g
∈
SU
(
2
)
)
{\displaystyle K(t,g\operatorname {U} (1),1_{\operatorname {SU} (2)}\!\operatorname {U} (1))=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname {P} _{n}\left({\frac {\left(\operatorname {tr} g\right)^{2}+\left(\operatorname {tr} (\mathrm {i} \sigma _{3}g)\right)^{2}}{2}}-1\right)\qquad \left(t\in \mathbb {R} ^{+},\;g\in \operatorname {SU} (2)\right)}
여기서
i
σ
3
=
(
i
0
0
−
i
)
∈
SU
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {i} \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2)}
는 파울리 행렬 이며,
P
n
(
−
)
{\displaystyle \mathrm {P} _{n}(-)}
는 르장드르 다항식 이다.
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위의 다음과 같은 라플라스형 연산자 를 생각하자.
H
=
1
2
m
d
2
d
x
2
−
1
2
m
x
2
−
E
{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {1}{2}}mx^{2}-E}
이는 무게
m
{\displaystyle m}
의 조화 진동자 의 해밀토니언 연산자 이다.
H
{\displaystyle H}
의 열핵은 다음과 같다.
K
(
t
,
x
,
y
)
=
m
2
π
sinh
t
exp
(
−
m
(
x
2
+
y
2
)
2
tanh
t
+
m
x
y
sinh
(
m
x
y
)
−
E
t
)
{\displaystyle K(t,x,y)={\sqrt {\frac {m}{2\pi \sinh t}}}\exp \left(-{\frac {m(x^{2}+y^{2})}{2\tanh t}}+{\frac {mxy}{\sinh(mxy)}}-Et\right)}
이를 멜러 핵 (Mehler核, 영어 : Mehler kernel )이라고 한다.[ 1] :154, §4.2
멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(독일어 : Gustav Ferdinand Mehler , 1835~1895)가 도입하였다.[ 7] :173–174
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