수반 함자

범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의

쌍대단위원과 단위원을 통한 정의

두 범주 ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$ 사이의 두 함자

$F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

$G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$와 $G$ 사이의 수반(영어: adjunction) $(\epsilon ,\eta )$는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

$\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$

$\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$

여기서 $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ 및 $\operatorname {id} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

$\operatorname {id} _{F}=\epsilon F\circ F\eta$

$\operatorname {id} _{G}=G\epsilon \circ \eta G$

여기서 $\operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F$ 및 $\operatorname {id} _{G}\colon G\Rightarrow G$는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

${\begin{matrix}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{F}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \epsilon F\\&&F\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}G&{\xrightarrow {\eta G}}&GFG\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}}\searrow &\downarrow \scriptstyle G\epsilon \\&&G\end{matrix}}$

이 경우, $F$를 $G$의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor)라고 하고, $G$를 $F$의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며, $\epsilon$은 쌍대단위원(雙對單位元, 영어: counit), $\eta$는 단위원(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로

$F\dashv G$

또는

$F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G$

와 같이 쓴다.

보편 성질을 통한 정의

두 범주 ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$ 사이의 두 함자

$F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

$G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$

사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

$\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$

이다.

• 임의의 대상 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}})$ 및 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 및 사상 $f\colon F(X)\to Y$에 대하여, $f=\epsilon _{Y}F(g)$인 유일한 사상 $g\colon X\to G(Y)$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}FG(Y)&\xrightarrow {\epsilon _{Y}} &Y\\{\scriptstyle G(\exists !g)}\uparrow &\nearrow {\scriptstyle f}\\F(X)\end{matrix}}$

마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. $F$와 $G$ 사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

$\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$

이다.

• 임의의 대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 및 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon X\to G(Y)$에 대하여, $f=G(g)\circ \eta _{X}$인 유일한 사상 $g\colon F(X)\to Y$이 존재한다.

  ${\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta _{X}} &GF(X)\\&{\scriptstyle \forall f}\searrow &\downarrow {\scriptstyle G(\exists !g)}\\&&G(Y)\end{matrix}}$

이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, $(\epsilon ,\eta )$가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, $\epsilon$과 $\eta$를 이루는 사상들은 두 정의에서의 보편 성질을 각각 만족시킨다. 반대로, 자연 변환 $\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$을 이루는 사상들이 보편 성질을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$을 찾을 수 있다. 마찬가지로, 보편 성질을 만족시키는 자연 변환 $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 $\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$을 찾을 수 있다.

사상 집합을 통한 정의

${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

$F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G$

는 다음과 같이 정의할 수 있다. $F$와 $G$ 사이의 수반은 함자

$\hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set}$

$\hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set}$

사이의 자연 동형

$\Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))$

이다.

국소적으로 작은 범주의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 $\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$과 단위원 $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$의 순서쌍이 주어졌을 때,

$\Phi _{X,Y}\colon (F(X)\xrightarrow {f} Y)\longmapsto (X\xrightarrow {\eta _{X}} GF(X)\xrightarrow {G(f)} G(Y))\qquad (X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}}),\;Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}}))$

는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 $\Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))$이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상

$\epsilon _{Y}=\Phi _{G(Y),Y}^{-1}(\operatorname {id} _{G(Y)})\qquad (Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}}))$

$\eta _{X}=\Phi _{X,F(X)}(\operatorname {id} _{F(X)})\qquad (X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}}))$

들은 $F,G$의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

성질

프레이드 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

• ${\mathcal {D}}$는
  • 완비 범주이다.
  • 국소적으로 작은 범주이다.
• ${\mathcal {C}}$는 범주이다.

프레이드 수반 함자 정리(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 $G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:121, Theorem V.6.2}

• $G$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• $G$는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.

여기서 해집합 조건(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 $\{{\tilde {X}}_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {D}}$ 및 사상들의 집합 $\{f_{i}\colon X\to G({\tilde {X}}_{i})\}_{i\in I}$이 존재한다.

임의의 ${\tilde {Y}}\in {\mathcal {D}}$ 및 사상 $g\colon X\to G({\tilde {Y}})$에 대하여, $g=G({\tilde {g}})\circ f_{i}$를 만족시키는 $i\in I$ 및 ${\tilde {g}}\colon {\tilde {X}}_{i}\to {\tilde {Y}}$가 존재한다.

${\begin{matrix}X&{\overset {g}{\to }}&G({\tilde {Y}})\\{\scriptstyle f_{i}}\downarrow &&\|\\G({\tilde {X}}_{i})&{\underset {G({\tilde {g}})}{\to }}&G({\tilde {Y}})\end{matrix}}$

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

$F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G$

이 존재한다면, 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여

$I=\{0\}$

${\tilde {X}}_{0}=F(X)$

$f\colon X\to G(F(X))=G({\tilde {X}}_{0})$

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

특수 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

• ${\mathcal {D}}$는
  • 완비 범주이다.
  • 국소적으로 작은 범주이다.
  • 정멱 범주이다.
  • 쌍대 생성 집합을 갖는다.
• ${\mathcal {C}}$는 국소적으로 작은 범주이다.

특수 수반 함자 정리(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 $G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:129, Theorem V.8.2}

• $G$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• $G$는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

예

자유-망각 수반

 이 부분의 본문은 자유 대상입니다.

대수 구조 다양체의 범주 ${\mathcal {V}}$에서, 자유 대수 함자

$\langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}$

는 망각 함자

$|-|\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set}$

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

$\langle -\rangle \dashv |-|$

곱-지수 수반

데카르트 닫힌 범주 ${\mathcal {C}}$의 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 곱 함자

$-\times X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

$-\times X\colon Y\mapsto Y\times X$

는 지수 대상 함자

$(-)^{X}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

$(-)^{X}\colon Y\mapsto Y^{X}$

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

$-\times X\dashv (-)^{X}$

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 $\otimes$이다.)

대각-극한 수반

범주 ${\mathcal {C}}$ 및 범주 ${\mathcal {J}}$가 주어졌고, 모든 함자 $D\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

$\varprojlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$

는 왼쪽 수반 함자

$\Delta \dashv \varprojlim$

를 가진다. 이는 ${\mathcal {C}}$의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

$\Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$

$\Delta \colon X\mapsto (J\mapsto X)$

예를 들어, ${\mathcal {C}}$가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

$(-)^{2}\colon {\mathcal {C}}^{2}\to {\mathcal {C}}$

$(-)^{2}\colon X\mapsto X\times X$

$\Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{2}$

$\Delta \colon X\mapsto (X,X)$

는 서로 수반 함자를 이룬다.

$\Delta \dashv (-)^{2}$

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {C}}$ 및 범주 ${\mathcal {J}}$가 주어졌고, 모든 함자 $D\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

$\varinjlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$

는 오른쪽 수반 함자

$\varinjlim \dashv \Delta$

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

$\varinjlim \dashv \Delta \dashv \varprojlim$

가 된다.

외부 링크

• “Adjoint functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Adjoint functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Left adjoint”. 《nLab》 (영어). 
• “Right adjoint”. 《nLab》 (영어). 
• “Examples of adjoint functors”. 《nLab》 (영어). 
• “Adjoint functor theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Solution set condition”. 《nLab》 (영어). 
• Armstrong, John (2007년 7월 16일). “Adjoint functors”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어). 
• Armstrong, John (2007년 7월 17일). “The unit and counit of an adjunction”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어). 
• Goubault-Larrecq, Jean (2015년 7월 27일). “Adjoint functor theorems: GAFT and SAFT”. 《Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Electronic supplements to the book》 (영어). 
• “How do I check if a functor has a (left/right) adjoint?”. 《Math Overflow》 (영어). 

같이 보기

• 반사 부분 범주
• 칸 확대
• 모나드 (범주론)