오리엔티폴드

끈 이론에서, 오리엔티폴드(orientifold)란 끈의 세계면방향 반전 연산자를 게이지하여 없앤 경우를 일컫는다.[1][2][3]

정의편집

ⅡB종 초끈 이론의 기본 끈의 세계면  2차원 등각 장론에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다.

  •  : 끈의 방향을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다.
  •  : 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 −1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다.
  •  : 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 −1로 작용한다.

이들은

 
 

를 따르며, 크기 8의 정이면체군  을 이룬다.[1]:§2.2

    또는  
  + +
  +
  + +
 
  +
 
  +
 

보다 일반적으로, 시공간  방향을 보존하는 대합  에 대하여,   등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다.

ⅡA의 경우,  는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합  와 합성하였을 때   등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다.

끈이 움직이는 시공간  이 어떤 (유한) 대칭군  를 갖는다고 하자. 그렇다면, 총 대칭군

 

의 임의의 부분군

 

을 골라, 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 이 경우, 만약  이라면 (즉, 끈 세계면 2차원 등각 장론의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 오비폴드   위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로  이라면, 이를 오리엔티폴드라고 한다.

오리엔티폴드 평면편집

흔히 사용되는 경우는  이며  인 경우이다. 이 경우,  고정점의 집합을 오리엔티폴드 평면이라고 한다. 차원에 따라,  차원의 오리엔티폴드 평면을 O  평면으로 부른다.

O-평면은 D-막과 같이 게이지 전하를 지니나, 이들은 D-막과 달리 음의 장력을 지니며, 또한 동적이지 않다. (즉 O-평면에 국한된 진동모드가 없다.) 예를 들어,  가 자명한 ( ) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다.

보다 일반적으로,

 

에서, 총 페르미온 수  를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.[4]:319, §10.6

이를 무시하면 (즉, 몫군  을 취하면), 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. 에드워드 위튼은 이를 다음과 같이 명명하였다.[5]

  • (ⅰ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅰ) orientifold):  
  • (ⅱ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅱ) orientifold):   (또는  )
  • (ⅲ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅲ) orientifold):   (또는  )

이 경우, 사용되는 원소  는 페르미온에 대하여  이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, Op-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.[6]:(2.1), §2.1[4]:317, Table 10.3

 

물론, ⅡA에서 p는 짝수이며, ⅡB에서 p는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. 정이면체군 Dih(4)의 중심의 원소  를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면(영어: anti-orientifold plane)에 해당한다.[7]:§2 위 표에서 물론  을 사용하는지,  를 사용하는지는 임의적이지만, 이는 어느 것을 D-막으로, 어느 것을 반(反) D-막으로 간주하는지에 대응한다.

기타 오리엔티폴드 평면편집

보다 일반적인 오리엔티폴드 평면의 종류도 존재한다.[6][8][9] 구체적으로, 오리엔티폴드 평면 근처에 꼬임 부분군에 해당하는 캘브-라몽 장 또는 ( 일 때) 라몽-라몽 장 장세기를 추가할 수 있다.

이름 캘브-라몽 장세기 라몽-라몽 장세기 장력 라몽-라몽 전하  개 반(半)D-막의 게이지 군
Op 0 0      
Op+ ≠0 0      
Õp 0 ≠0      
Õp+ ≠0 ≠0      

물론, 위 경우 모두에 대하여  를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있다. 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호가 반대가 된다.

위 표에서, Õp-평면은 Op평면과 ½개의 Dp-막이 결합한 상태로 여길 수 있다.

성질편집

오리엔티폴드 평면은 D-막과 마찬가지로 라몽-라몽 장에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면의 D-막 전하는 다음과 같다.[10]

O-평면 Op 전하 / Dp 전하
O9 −32
O8 −16
O7 −8
O6 −4
O5 −2
O4 −1
O3 −½
O2 −¼
O1 −⅛

이는 T-이중성으로 계산할 수 있다. Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 −32개의 D9-막과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면  축소화하여 T-이중성을 가하면,  개의 O -평면이 32개의 D -막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. ( 은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 T-이중성을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 D8-막이 존재한다.

위 표에서, “ 개의 D-막”이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨지게 된다. (즉,  는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(k)를 발생시킨다.)

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Ⅰ종 끈 이론을 생각하자. 이 경우, ⅡB종 끈 이론에서

 

에 대한 오리엔티폴드를 취한 것이다. 이 경우, 항등 함수의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 파인먼 도형을 상쇄시키기 위하여, 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되게 하기 위하여 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 그렇다면 O(32) 게이지 군을 얻으며, 이는 Ⅰ종 끈 이론의 게이지 군에 해당한다.

역사편집

1989년에 잔프란코 프라디시(이탈리아어: Gianfranco Pradisi)와 아우구스토 사뇨티(이탈리아어: Augusto Sagnotti),[11] 다이진(중국어: 戴瑾, 병음: Dài Jǐn), 로버트 리(영어: Robert G. Leigh), 조지프 폴친스키[12] 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 D-막의 발견 논문이기도 하다.

‘오리엔티폴드’(영어: orientifold)란 영어: orientation 오리엔테이션[*](방향)과 ‘오비폴드’의 합성어이다.

참고 문헌편집

  1. Dabholkar, Atish (1998). “Lectures on orientifolds and duality” (영어). arXiv:hep-th/9804208. Bibcode:1998hepc.conf..128D. 
  2. Angelantonj, C.; Sagnotti, A. (2002). “Open strings”. 《Physics Reports》 371: 1. arXiv:hep-th/0204089. Bibcode:2002PhR...371....1A. doi:10.1016/S0370-1573(02)00273-9. ISSN 0370-1573.  오류 정정: Angelantonj, C.; A. Sagnotti (2003). “Erratum to ‘Open strings’: [Phys. Rep. 371 (2002) 1–150]”. 《Physics Reports》 376 (6): 407. Bibcode:2003PhR...376..407A. doi:10.1016/S0370-1573(03)00006-1. ISSN 0370-1573. 
  3. Brunner, Ilka; Kentaro Hori (2004년 8월 17일). “Notes on orientifolds of rational conformal field theories”. 《Journal of High Energy Physics》 2004 (7): 23. arXiv:hep-th/0208141. doi:10.1088/1126-6708/2004/07/023. ISSN 1029-8479. 
  4. Blumenhagen, Ralph; Lüst, Dieter; Theisen, Stefan. 《Basic concepts of string theory》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-29497-6. ISBN 978-3-642-29496-9. 
  5. Witten, Edward. “D-branes and K-theory” (영어). arXiv:hep-th/9810188. 
  6. Bergman, Oren; Gimon, Eric; Sugimoto, Shigeki (2001). “Orientifolds, RR Torsion, and K-theory”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 0105: 047. arXiv:hep-th/0103183. doi:10.1088/1126-6708/2001/05/047. 
  7. Kachru, Shamit; Kumar, Jason; Silverstein, Eva (2000). “Orientifolds, RG flows, and closed string tachyons”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (5): 1139-1150. arXiv:hep-th/9907038. doi:10.1088/0264-9381/17/5/323. 
  8. Hanany, Amihay; Kol, Barak (2000). “On orientifolds, discrete torsion, branes and M theory” (영어) 0006: 013. arXiv:hep-th/0003025. doi:10.1088/1126-6708/2000/06/013. 
  9. Distler, Jacques; Freed, Daniel S.; Moore, Gregory W. (2010). “Orientifold Précis”. arXiv:0906.0795. 
  10. Mukhi, Sunil (1997). “Orientifolds: the unique personality of each spacetime dimension” (영어). arXiv:hep-th/9710004. 
  11. Pradisi, Gianfranco; Sagnotti, Augusto (1989년 1월 5일). “Open string orbifolds”. 《Physics Letters B》 216 (1–2): 59–67. doi:10.1016/0370-2693(89)91369-5. 
  12. Dai, Jin; Leigh, Robert G.; Polchinski, Joseph (1989년 10월 20일). “New connections between string theories”. 《Modern Physics Letters A》 (영어) 4 (21): 2073–2083. doi:10.1142/S0217732389002331. 

외부 링크편집