주 메뉴 열기

오일러 삼각형 정리

오일러 삼각형 정리와 그에 필요한 보조선, 보조점들

기하학에서, 오일러 삼각형 정리(Euler三角形定理, 영어: Euler's triangle theorem)는 삼각형외심내심 사이의 거리를 외접원내접원의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.

정의편집

주어진 삼각형의 외접원의 반지름을  , 내접원의 반지름을  라고 하고, 외심과 내심 사이의 거리를  라고 하자. 오일러 삼각형 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

 

특히, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

 

이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 정삼각형이다.

증명편집

삼각형  의 외심을  , 내심을  라고 하고,  를 지나는 외접원의 지름을  라고 하자.  의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을  이라고 하고,  의 연장선과 외접원의 교점을  라고 하자.  를 지나는  의 수선의 발을  라고 하자. 그렇다면 방멱 정리에 의하여

 

이며, 또한 맨션 정리에 의하여  이다. 삼각형   을 생각할 때, 호  의 원주각의 성질에 의하여

 

이고,  은 지름이므로

 

이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 닮음이며, 특히

 

가 성립한다. 이 결과들을 연립하면

 

를 얻는다.

외부 링크편집