오일러 피 함수

수론에서 오일러 파이 함수(-函數, 영어: Euler’s phi (totient) function)는 정수환몫환가역원을 세는 함수이다. 즉, n양의 정수일 때, ϕ(n)은 n서로소인 1부터 n까지의 정수의 개수와 같다. 예를 들어, 1부터 6까지의 정수 가운데 1, 5 둘만 6과 서로소이므로, ϕ(6) = 2이다. 1부터 10까지의 정수는 모두 11과 서로소이며, 11은 자기 자신과 서로소가 아니므로, ϕ(11) = 10이다. 1은 자기 자신과 서로소이므로, ϕ(1) = 1이다.

오일러 피 함수의 그래프. ϕ(1)부터 ϕ(1000)까지의 값들을 나타낸다.

정의편집

양의 정수  오일러 파이 함수  정수환몫환  가역원군의 원소 개수이다. 즉, 1부터  까지의 정수 가운데  서로소인 것들의 개수이다.

 

성질편집

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1부터 80까지의 정수의 오일러 파이 함수 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A000010)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ϕ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ϕ(n) 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16
n 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
ϕ(n) 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
ϕ(n) 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32

항등식편집

오일러 파이 함수는 곱셈적 함수다. 즉, 만약 두 정수  이 서로소라면, 다음이 성립한다.

 

오일러 파이 함수 값은 소인수를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. 이를 오일러 곱 공식(영어: Euler product formula)이라고 한다.

 

특히, 소수  의 거듭제곱  의 오일러 피 함수 값은

 

이다. 특히 소수  의 경우

 

이다.

오일러 파이 함수를 통해 항등 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이는 레온하르트 오일러가 증명하였다.

 

또한, 다음이 성립한다.

 

여기서  뫼비우스 함수이다.

만약 양의 정수  이 서로소라면, 다음과 같은 합동식이 성립한다. 이를 오일러의 정리라고 한다.

 

응용편집

오일러 파이 함수는 수학의 다양한 분야에서 등장한다. 예를 들어, 군론에서는 순환군  의 가능한 생성원(generator)의 수는  이다. 이는  과 서로소인 임의의 수를 사용하여  를 생성할 수 있기 때문이다.

또한, n각형작도 가능한 다각형인지, 즉 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는지는  이 2의 거듭제곱수인지와 동치이다. 즉,

n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, …

이라면

  = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, …

이므로 정n각형을 작도할 수 있지만, 다른 값의 경우에는 작도할 수 없다. 특히, n소수인 경우를 페르마 소수라고 한다.

오일러 파이 함수는 암호학RSA 암호에서도 핵심적인 역할을 한다.

같이 보기편집

외부 링크편집