통계학 에서 베이불 분포 (영어 : Weibull distribution )은 연속 확률 분포 의 하나이다. 발로디 베이불 (스웨덴어 : Waloddi Weibull )의 이름에서 따왔다. 입자의 분포를 다루는 경우 로신-램러 분포(Rosin-Rammler distribution)라고 부르기도 한다.
와이블 분포
확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수
λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} , k > 0 {\displaystyle k>0}
지지집합
x ∈ [ 0 ; + ∞ ) {\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}
확률 밀도
{ k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
누적 분포
{ 1 − e − ( x / λ ) k x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle {\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
기댓값
λ Γ ( 1 + 1 / k ) {\displaystyle \lambda \,\Gamma (1+1/k)\,}
중앙값
λ ( ln ( 2 ) ) 1 / k {\displaystyle \lambda (\ln(2))^{1/k}\,}
최빈값
{ λ ( k − 1 k ) 1 k k > 1 0 k = 1 {\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,&k>1\\0&k=1\end{cases}}}
분산
λ 2 [ Γ ( 1 + 2 k ) − ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 ] {\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}
비대칭도
Γ ( 1 + 3 / k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}
엔트로피
γ ( 1 − 1 / k ) + ln ( λ / k ) + 1 {\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}
적률생성함수
∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ ( 1 + n / k ) , k ≥ 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1}
특성함수
∑ n = 0 ∞ ( i t ) n λ n n ! Γ ( 1 + n / k ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}
베이불 분포는 유연하기 때문에 수명 데이터 분석에 자주 쓰이는데 정상분포나 지수분포같은 다른 통계적인 분포를 흉내낼수도 있다. 주로 산업현장에서 부품의 수명을 추정하는 데 사용되며, 고장날 확률 이 시간이 지나면서 높아지는 경우와 줄어드는 경우와 일정한 경우 모두 추정 할 수 있다. 고장날 확률이 시간에 따라 일정한 경우는 지수분포 와 같다.
f ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k {\displaystyle f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,} 사용의 예
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베이불 분포는 다음과 같은 경우의 분석에 쓰인다.
부품의 수명 추정 분석
산업 현장에서 어떤 제품의 제조와 배달에 걸리는 시간을 나타낸다.
날씨예보
신뢰성공학에서 실패분석