범주론에서 완비 범주(完備範疇, 영어: complete category)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.

정의 편집

범주  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.

  • (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주  함자  에 대하여,  극한  를 갖는다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (동등자의 존재) 임의의 두 사상  에 대하여, 동등자  가 존재한다.
    • (작은 곱의 존재) 임의의  의 대상들의 집합  에 대하여,  가 존재한다.

범주  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, 영어: cocomplete category)라고 한다.

  • (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주  함자  에 대하여,  쌍대극한  를 갖는다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상  에 대하여, 쌍대동등자  가 존재한다.
    • (작은 쌍대곱의 존재) 임의의  의 대상들의 집합  에 대하여, 쌍대곱  가 존재한다.

범주  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.

  • (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주  함자  에 대하여,  극한  를 갖는다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (동등자의 존재) 임의의 두 사상  에 대하여, 동등자  가 존재한다.
    • (유한 곱의 존재) 임의의  의 대상들의 유한 집합  에 대하여,  가 존재한다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (당김의 존재) 임의의  에 대하여, 당김  가 존재한다.
    • (끝 대상의 존재) 끝 대상  가 존재한다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • (동등자의 존재) 임의의 두 사상  에 대하여, 동등자  가 존재한다.
    • (이항 곱의 존재) 임의의  의 두 대상  에 대하여,  가 존재한다.
    • (끝 대상의 존재) 끝 대상  가 존재한다.

성질 편집

작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 완비 범주이다.
  • 쌍대 완비 범주이다.

또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.[1]:78, Exercise D

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.

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대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

  • 집합함수의 범주  
  • 의 범주  
  • 아벨 군의 범주  
  • 의 범주  
  • 가환환의 범주  
  •  에 대하여,   위의 왼쪽 가군들의 범주  

작은 범주들의 범주   역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

부분 순서 집합  얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

  •  는 완비 범주이다.
  •  완비 격자이다.

 를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

  •  는 완비 범주이다.
  •  자명군이다.

완비 범주가 아닌 범주 편집

의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대 완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.

각주 편집

  1. Freyd, Peter J. (2003). “Abelian categories”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 2003 (3): 1–164. MR 2050440. Zbl 1041.18001. 

외부 링크 편집