완비 범주

범주론에서 완비 범주(完備範疇, 영어: complete category)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.

• (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 ${\mathcal {J}}$ 및 함자 $F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$에 대하여, $F$는 극한 $\varprojlim F$를 갖는다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, 동등자 $\operatorname {Eq} \{f,g\}$가 존재한다.
  • (작은 곱의 존재) 임의의 ${\mathcal {C}}$의 대상들의 집합 $S\subseteq {\mathcal {C}}$에 대하여, 곱 $\prod S$가 존재한다.

범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, 영어: cocomplete category)라고 한다.

• (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 ${\mathcal {J}}$ 및 함자 $F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$에 대하여, $F$는 쌍대극한 $\varinjlim F$를 갖는다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, 쌍대동등자 $\operatorname {Coeq} \{f,g\}$가 존재한다.
  • (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 ${\mathcal {C}}$의 대상들의 집합 $S\subseteq {\mathcal {C}}$에 대하여, 쌍대곱 $\coprod S$가 존재한다.

범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.

• (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 ${\mathcal {J}}$ 및 함자 $F\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$에 대하여, $F$는 극한 $\varprojlim F$를 갖는다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, 동등자 $\operatorname {Eq} \{f,g\}$가 존재한다.
  • (유한 곱의 존재) 임의의 ${\mathcal {C}}$의 대상들의 유한 집합 $S\subseteq {\mathcal {C}}$에 대하여, 곱 $\prod S$가 존재한다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • (당김의 존재) 임의의 $X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y$에 대하여, 당김 $X\times _{Z}Y$가 존재한다.
  • (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1\in {\mathcal {C}}$가 존재한다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, 동등자 $\operatorname {Eq} \{f,g\}$가 존재한다.
  • (이항 곱의 존재) 임의의 ${\mathcal {C}}$의 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 곱 $X\times Y$가 존재한다.
  • (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1\in {\mathcal {C}}$가 존재한다.

성질

작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 완비 범주이다.
• 쌍대 완비 범주이다.

또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.^{:78, Exercise D}

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.

예

대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

• 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$
• 군의 범주 $\operatorname {Grp}$
• 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$
• 환의 범주 $\operatorname {Ring}$
• 가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$
• 환 $R$에 대하여, $R$ 위의 왼쪽 가군들의 범주 $R{\text{-Mod}}$

작은 범주들의 범주 $\operatorname {Cat}$ 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

부분 순서 집합 $P$를 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

• $P$는 완비 범주이다.
• $G$는 완비 격자이다.

군 $G$를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

• $G$는 완비 범주이다.
• $G$는 자명군이다.

완비 범주가 아닌 범주

체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대 완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

• “Complete category”. 《nLab》 (영어). 
• “Cocomplete category”. 《nLab》 (영어). 
• “Finitely complete category”. 《nLab》 (영어). 
• “Finitely cocomplete category”. 《nLab》 (영어). 
• “Complete small category”. 《nLab》 (영어). 
• “M-complete category”. 《nLab》 (영어).