집적점

일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

정의

기수 $\kappa \in \operatorname {Card}$가 주어졌다고 하자. 위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 점 $x\in X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $x$가 $Y$의 $\kappa$-집적점(集積點, 영어: $\kappa$-accumulation point)이라고 한다.

• 임의의 $x$의 근방 $X\supseteq U\ni x$에 대하여, $|U\cap Y|\geq \kappa$이다.

특히, 임의의 점 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.

$\operatorname {acc} (x,Y)=\min _{U\in {\mathcal {N}}_{x}}|Y\cap U|$

여기서 ${\mathcal {N}}_{x}$는 $x$의 근방 필터이다. 즉, $x$는 항상 $Y$의 $\operatorname {acc} (x,Y)$-집적점이다.

$Y$의 $\kappa$-집적점들의 집합을

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)=\{x\in X\colon \operatorname {acc} (x,Y)\geq \kappa \}$

로 표기하자.

특별한 값의 $\kappa$에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.

• $Y\subseteq X$의 $|Y|$-집적점을 완비 집적점(完備集積點, 영어: complete accumulation point)이라고 한다.
• $\aleph _{1}$-집적점을 응집점(凝集點, 영어: condensation point)이라고 한다. (여기서 $\aleph _{1}$은 최소의 비가산 기수이다.)
• 2-집적점을 극한점(極限點, 영어: limit point)이라고 한다. (즉, $Y$의 극한점은 임의의 근방 $X\supseteq U\ni x$에 대하여, $U\cap Y\setminus \{x\}\neq \varnothing$인 점 $x\in X$이다.) 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 영어: derived set)이라고 하며, 흔히 $\operatorname {acc\,pt} _{2}(Y)=Y'$으로 표기한다.
  • $X\subseteq X$의 극한점이 아닌 점 $x\in X\setminus X'$은 고립점(孤立點, 문화어: 외딴점, 영어: isolated point)이라고 한다. (즉, $X$의 고립점은 $\{x\}$가 열린집합인 점 $x\in X$이다.) 위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 집합 $Y\setminus Y'$은 $Y$를 부분 공간으로 하는 위상 공간 $X$의 선택과 무관하며, 특히 이는 $Y$의 고립점의 집합이다.
• 1-집적점을 폐포점(閉包點, 영어: closure point) 또는 밀착점(密着點, 영어: adherent point)이라고 한다. $Y\subseteq X$의 폐포점은 $Y$의 원소이거나 아니면 $Y$의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 $\operatorname {acc\,pt} _{1}(Y)=\operatorname {cl} Y$라고 한다.
• 임의의 $x\in X$는 $Y\subseteq X$의 0-집적점이다.

성질

폐포와의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$과 점 $x\in X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $Y$의 폐포점이다.
• $x\in Y$이거나, 또는 $x$는 $Y$의 극한점이다.

다시 말해, $Y$의 폐포는 $Y$와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.

$X=\operatorname {acc\,pt} _{0}(Y)$

$\operatorname {cl} Y=Y\cup Y'$

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Y$는 닫힌집합이다.
• $Y'\subseteq Y$
• $\operatorname {cl} Y=Y$

T₁ 공간의 경우

만약 $X$가 T₁ 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $Y$의 극한점이다.
• $x$는 $Y$의 $\aleph _{0}$-집적점이다.

따라서, T₁ 공간의 경우 $2\leq \kappa \leq \aleph _{0}$에 대하여 $\kappa$-집적점을 구별하지 않아도 된다.

증명:

$x\in X$가 $Y\subseteq X$의 $\aleph _{0}$-집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, $U\cap Y$가 유한 집합인 $U\in {\mathcal {N}}_{x}$가 존재한다. (${\mathcal {N}}_{x}$는 $x$의 근방 필터이다.)

$X$가 T₁ 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서,

${\widetilde {U}}=\operatorname {int} (U)\setminus (Y\setminus \{x\})=\operatorname {int} (U)\cap \bigcap _{y\in U\cap (Y\setminus \{x\})}(X\setminus \{y\})$

역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 $\operatorname {int}$는 내부를 뜻한다.) ${\widetilde {U}}\in {\mathcal {N}}_{x}$이자 $|{\widetilde {U}}\cap Y|\leq 1$이므로 $x$는 $Y$의 극한점이 아니다.

T₁ 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 이산 공간이다.
• $X$의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

유도 집합

다음이 성립한다.

• 임의의 $\kappa \geq 1$에 대하여, $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\varnothing )=\varnothing$
• 임의의 집합 $Y,Z\subseteq X$ 및 기수 $\kappa \leq 2$에 대하여, $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y\cup Z)=\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)\cup \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)$
• 임의의 집합 $Z\subseteq Y\subseteq X$ 및 기수 $\kappa \geq \lambda$에 대하여, $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\lambda }(Y)$

예

실수선의 부분 집합

$S=\{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\subsetneq \mathbb {R}$

을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(S)={\begin{cases}\mathbb {R} &\kappa =0\\S\cup \{0\}&\kappa =1\\\{0\}&2\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}$

실수선 속의, 무리수의 부분 집합 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R}$을 생각하자.

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}$

실수선 속의, 유리수의 부분 집합 $\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R}$을 생각하자.

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}$

실수선을 스스로의 부분 집합 $\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R}$으로 여기자.

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}$

즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선 $\mathbb {R}$의 부분 공간 $\{0\}\cup [1,2]$의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간 $\{0\}\cup \{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}$에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

이산 공간

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 이산 공간이다.
• $X$의 모든 점은 고립점이다.

역사

유도 집합(독일어: abgeleitete Punktmenge)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.^{:129, §2}

외부 링크

• “Limit point of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Accumulation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Proximate point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Condensation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Condensation point of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Complete accumulation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Derived set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Isolated point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isolated point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Derived set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Limit point”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: limit point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: adherent point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: omega-accumulation point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: condensation point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Relationship between limit point types”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: derived set”. 《ProofWiki》 (영어).