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선형대수학에서 외적(外積, outer product)이란 벡터텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

목차

정의편집

행렬에서의 정의편집

두 벡터의 외적   와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서,  은 실수공간  에서 정의되는   열벡터,   에서 정의되는   열벡터를 말한다. 예를 들어,  ,  인 경우

 

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간    에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산   대신에 복소켤레전치  를 사용해

 

로 정의된다.

내적과의 비교편집

만약  이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

 

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라(  행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의편집

주어진 벡터  코벡터  의 텐서곱  동형사상  하의 사상  을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진  에 대해

 

로 정의된다. 여기서  로 계산된   와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은    의 합성이다.

내적과의 비교편집

만약  이면, 코벡터  와 벡터    쌍대의 쌍대연산   를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계편집

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간  에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터   의 외적은 다음과 같다.

 

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

 

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우,  이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

 

여기서  를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

 

이다. 그리고 여기에  를 곱하면

 

되고 마지막으로  을 곱하면

 

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.