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요네다 보조정리

특정한 범주를 집합의 범주에 묻는 함자에 대한 보조정리로, 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것
(요네다 매장에서 넘어옴)

범주론에서, 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주집합의 범주에 묻는 함자에 대한 보조정리다. 군론케일리의 정리(Cayley’s theorem)를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학표현론에서 중요하게 쓰인다.

보조정리편집

 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상  에 대해,  에서 집합의 범주  으로 가는 (공변) 함자를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 
 
 

그리고 함자  가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상  에 대하여 다음이 성립한다.

 

이 때,  은 모든 자연 변환  들의 집합이고,    에 대한 이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

 

마찬가지로, 반변 함자   에 대해서도 다음이 성립한다.

 

이 때  자연 변환  들의 집합이고,    에 대한 이다.

증명편집

다음은 공변 함자의 경우에 대한 증명이다.

임의의 자연 변환  에 대해  를 생각할 수 있다.   로 가는 함자를  로 가는 함자로 옮겨야 하고,  이므로,  가 유일하게 존재한다는 것을 알 수 있다.

이제, 거꾸로 모든  에 대해 자연 변환  를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.

 

자연 변환의 정의에 의해 위 가환이 성립하므로,   에 대한 상은  에 의해 결정된다.

 

다시 말해,  의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

반변 함자의 경우에도 마찬가지로 증명할 수 있다.

요네다 매장편집

 에서  으로 가는 함자들의 범주를  라 표기한다. 반변함자  을 생각하고, 이에 대한 요네다 보조정리에  을 대입하면 다음이 성립한다.

 

이는 다시 말해 범주  를 그 성질 그대로   안에 옮겨놓을 수 있다는 뜻이다. 이런 일을 하는 함자를 다음과 같이 정의할 수 있으며, 요네다 매장(영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.

 
 

역사편집

일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Nobuo, Yoneda (1954). “On the homology theory of modules”. 《Journal of the Faculty of Science of the University of Toyko. Section I》 (영어) 7: 193–227. Zbl 0058.01902. 

외부 링크편집

같이 보기편집