운동량 사상

심플렉틱 기하학에서 운동량 사상(運動量寫像, 영어: momentum map 모멘텀 맵^[*], 영어: moment map 모먼트 맵^[*])은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$
• 리 군 $G$
• 매끄러운 군 표현 $\rho \colon G\to \operatorname {Ham} (M,\omega )$가 주어졌다고 하자. 여기서 $\operatorname {Ham} (M,\omega )=\{f\in \operatorname {Diff} (M)\colon f^{*}\omega =\omega \}$는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 $\omega$를 보존하는 미분 동형 $M\to M$)들의 군이다.

리 대수의 원소 $\xi \in {\mathfrak {lie}}(G)$에 대하여, $M$ 위에는 $G$의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 $v_{\xi }$가 존재한다.

$v_{\xi }=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\rho (\exp(t\xi ))(x)$

여기서 $\exp$는 리 지수 사상이다. $G$의 작용 $\rho$의 운동량 사상 $\mu \colon M\to {\mathfrak {lie}}(G)^{*}$는 임의의 $\xi \in {\mathfrak {lie}}(G)$에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.

$d\langle \mu ,\xi \rangle =\omega (v_{\xi },\cdot )$

이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

$\partial _{j}\mu _{a}=\omega _{ij}v_{a}^{i}$

여기서 $i,j$는 접다발 $\mathrm {T} M$의 지표이고, $a$는 리 대수 ${\mathfrak {lie}}(G)$의 지표다.

성질

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 리 군 $G$의 작용의 운동량 사상 $\mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의

$\zeta \in ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}$

에 대하여 $\mu +\zeta$ 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 ${\mathfrak {g}}^{*}$는 $G$의 딸림표현의 쌍대 표현이며,

$({\mathfrak {g}}^{*})^{G}=\left\{\phi \in {\mathfrak {g}}^{*}\colon \forall x,y\in {\mathfrak {g}}\colon \phi ([x,y])=0\right\}=\operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}}^{*})$

는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉, ${\mathfrak {g}}$ 위의 무게의 집합, 또는 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 계수의 ${\mathfrak {g}}$의 0차 리 대수 코호몰로지)이다.

심플렉틱 몫공간

$G$가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간 $\mu ^{-1}(0)\subset M$은 $G$의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 $\mu ^{-1}(0)/G$는 $M$의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 $\mu ^{-1}(0)/G$는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간(영어: symplectic quotient) 또는 마즈든-와인스타인 몫공간(영어: Marsden–Weinstein quotient)이라고 하며, $M/\!/G$라고 쓴다. 이 경우

$\dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G$

이다.

물론, 0 대신 임의의 $\zeta \in ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}$에 대하여 $\mu ^{-1}(0)$를 사용할 수도 있다.

특히, $M$이 추가로 켈러 다양체 $(M,\omega ,J)$를 이루며, $G$의 작용이 심플렉틱 구조 $\omega$ 및 복소구조 $J$를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간

$M/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G$

는 켈러 다양체이다.

초켈러 몫공간

초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 $M$은 세 선형 독립 심플렉틱 구조 $\omega _{I}$ ($I=1,2,3$)을 가진다. 군의 작용 $G\times M\to M$이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 $\mu _{I}\colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}$이 존재한다. 이들을 합쳐서

$\mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}\otimes \mathbb {R} ^{3}$

을 정의하자. 그렇다면

$M/\!/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G$

는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은

$\dim _{\mathbb {R} }(M/\!/\!/G)=\dim _{\mathbb {R} }M-4\dim _{\mathbb {R} }G$

이다.

예

$G$가 1차원 아벨 리 군 $\mathbb {R}$이라고 하자. 그렇다면 $\mu$는 해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field) $v$를 생성시키는 해밀토니언이다.

복소수 사영 공간

복소수 내적 공간 $\mathbb {C} ^{n}$은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군 $\mathbb {C} ^{\times }$이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다.

$\mu \colon \mathbb {C} ^{n}\to {\mathfrak {lie}}(\operatorname {U} (1))=\mathrm {i} \mathbb {R}$

$\mu \colon z\mapsto \mathrm {i} \|z\|^{2}-\mathrm {i} C$

여기서 $C\in \mathbb {R}$는 임의의 실수 상수이다.

이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, $C>0$일 때 복소수 사영 공간 $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n-1}$을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로, $C<0$일 경우는 공집합을 얻는다.

복소수 사영 공간의 접공간

사원수 벡터 공간 $W=\mathbb {H} ^{n}$은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를 $n$차원 복소수 내적 공간 $V$에 대하여

$W=V\oplus V^{*}=\mathrm {T} ^{*}V$

로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용

$(x,\xi )\mapsto (\lambda x,\lambda ^{-1}\xi )$

에 대한 운동량 사상

$\mu _{1}(x,\xi )=\mathrm {i} (\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2})-\mathrm {i} C$

$\mu _{2}(x,\xi )+\mathrm {i} \mu _{3}(x,\xi )=\xi (x)-D$

를 취하면, $D=0$일 때

$\mu ^{-1}(0)=\{(x,\xi )\in \mathrm {T} ^{*}V\colon \xi \perp x,\;\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2}=C\}$

이다. 이 경우 초켈러 몫공간은 $V$ 위의 사영 공간의 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}\mathbb {P} (V)$이다. 특히, 만약 $V$가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다.

외부 링크

• “Moment map”. 《nLab》 (영어). 
• “Symplectic reduction”. 《nLab》 (영어).