군론에서 원군(圓群, 영어: circle group)은 절댓값이 1인 복소수로 구성된 1차원 리 군이다. SO(2) 또는 U(1)으로 불리며, 폰트랴긴 쌍대성을 발생시킨다.

원군에서의 곱셈은 각도의 덧셈으로 여길 수 있다.

정의

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원군  는 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 0이 아닌 복소수의 곱셈군   가운데, 절댓값이 1인 것들의 부분군  
  • 실수체 위의 2차 특수직교군  
  • 1차 유니터리 군  
  • 2차원 스핀 군  
  • 실수체의 덧셈군의 몫군  

이 위에는 1차원 매끄러운 다양체의 구조가 표준적으로 주어지며, 이에 따라  는 1차원 리 군을 이룬다.

성질

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위상수학적 성질

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원군은 원  위상동형이다. 따라서, 연결 공간이며, 기본군무한 순환군  이다.

군론적 성질

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원군을 위상군이 아니라 단순한 군으로 간주하자. 원군은 아벨 군이자 나눗셈군이며, 나눗셈군의 구조 정리에 따라 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

 

물론, 리 군으로서는  이다.

이에 따라, 원군은 모든 소수  에 대한 프뤼퍼 군을 부분군으로 갖는다. 원군의 계수는 실수의 크기  이며, 꼬임 부분군 이다. 원군은 정수환 위의 가군으로서 뇌터 가군도, 아르틴 가군도 아니다. (반면, 프뤼퍼 군아르틴 가군이지만 뇌터 가군이 아니다.)

위상군론적 성질

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원군의 부분군 가운데 닫힌집합인 것은 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군들이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 군들이다.

 

1차원 이상의 모든 콤팩트 리 군은 원군을 닫힌 부분군으로 갖는다.

원군의 폰트랴긴 쌍대군무한 순환군  이다.

 

원군의 범피복군은 1차원 유클리드 공간  이다.

표현론적 성질

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원군  의 연속 복소수 표현은 다음과 같이 분류된다.  의 복소수 기약 표현은 모두 1차원이며, 이들은

 

와 일대일 대응한다. 즉, 정수  에 의하여 분류된다.

원군  의 연속 실수 기약 표현들은 두 가지가 있다.

  • 1차원 자명한 표현
  • 2차원 표현  . 이는 복소수 기약 표현에서 복소수 구조를 잊은 것이다. 복소수 기약 표현과 달리,   은 실수 표현으로서 서로 동형이며,  인 경우는 기약 표현이 아니므로, 이 경우  이다.

참고 문헌

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외부 링크

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같이 보기

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