위상수학자의 사인 곡선

일반위상수학에서 위상수학자의 사인 곡선(영어: topologist’s sine curve)은 일반위상수학의 많은 문제의 반례가 되는 위상 공간이다.

위상수학자의 사인 곡선

정의

평면의 부분집합 $S$를 다음과 같이 정의하자.

$S=\left\{\left(x,\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right)\colon 0<x\leq 1\right\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

위상수학자의 사인 곡선은 집합 $S$의 $\mathbb {R} ^{2}$에서의 폐포

$\operatorname {cl} S=S\cup \{(0,y)\colon y\in [-1,1]\}$

이다.

성질

위상수학자의 사인 곡선 $\operatorname {cl} S$는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.
• 2개의 경로 연결 성분 $S$와 $\{(0,y)\colon y\in [-1,1]\}$을 갖는다.

위상 공간 $S\cup \{(0,0)\}$은 다음 성질들을 만족시킨다.^:137

• 국소 콤팩트 공간이 아니다.
  • $(0,0)\in S$는 콤팩트 근방이 없다.
• 국소 콤팩트 공간의 연속 함수에 대한 상이다.
  • 구체적으로, $\{-1\}\cup (0,1]\to S\cup \{(0,0)\}$, $-1\mapsto (0,0)$, $x\mapsto (x,\sin(1/x))$ ($\forall x\in (0,1]$)은 전사 연속 함수이며, $\{-1\}\cup (0,1]$은 국소 콤팩트 공간이다.
• 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.
• 2개의 경로 연결 성분 $S$와 $\{(0,0)\}$을 갖는다.

위상 공간

$\operatorname {cl} S\cup \{(x,1)\colon 0\leq x\leq 1\}$

은 다음 성질들을 만족시킨다.^:137

• 호 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.

참고 문헌

• Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Topologist's sine curve”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.