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위상의 비교

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일반위상수학범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, 영어: finer structure) 또는 더 엉성한 구조(-構造, 영어: coarser structure)라고 한다.

목차

정의편집

범주  ,   사이의 함자  가 주어졌다고 하자. 임의의 대상  에 대하여, 다음과 같은 범주  를 생각할 수 있다.

  •  의 대상은  인 대상  이다.
  •  의 사상은  인 사상  이다.

만약  충실한 함자라면,  얇은 범주이며, 이는   위에 존재할 수 있는  -구조들의 범주로 생각할 수 있다.

 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다.

 

이 관계를 엉성함이라고 한다.[1]:30, Definition 1.1.4 즉, 만약   속에서 사상  가 존재한다면,   보다 더 엉성한(영어: coarser)  -구조이며, 반대로   보다 더 섬세한(영어: finer)  -구조이다.

이 정의는 특히 위상 함자  에 대하여 적용된다.

 에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한  -구조)가 존재한다면, 이를   위의 비이산  -구조(영어: indiscrete  -structure)라고 한다. 반대로,  에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한  -구조)가 존재한다면, 이를   위의 이산  -구조(영어: discrete  -structure)라고 한다.

성질편집

 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여,  완비 원격자(영어: complete prelattice)를 이룬다.

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위상 공간편집

위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합함수의 범주로 가는 망각 함자

 

위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다.

집합   위의 두 위상 (열린집합의 족)  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:77–78

  •   보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수  연속 함수이다.
  •  이다. 즉, 항등 함수  열린 함수이다.

주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다.

흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"(영어: weaker/stronger topology)이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"(영어: stronger/weaker topology)이라는 용어를 사용한다.

기저편집

보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주  를 생각하자.

  •  의 원소  집합  와 그 위의 기저  의 순서쌍이다.
  •  의 사상  는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
     

그렇다면   충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합   위의 두 기저  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •   보다 더 엉성하다.
  • 임의의   에 대하여,   가 존재한다.
  •  에 의해 생성되는 위상   에 의해 생성되는 위상  보다 더 엉성하다.

주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

부분 기저편집

보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주  를 생각하자.

  •  의 원소  집합  와 그 위의 임의의 집합족  의 순서쌍이다. (이는  의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
  •  의 사상  는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
     

그렇다면   충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합   위의 두 부분 기저  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •   보다 더 엉성하다.
  • 임의의   에 대하여,  인 자연수   가 존재한다.
  •  에 의해 생성되는 위상   에 의해 생성되는 위상 보다 더 엉성하다.

주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

덮개와 유계형 집합편집

다음과 같은 구체적 범주  를 생각하자.

  •  의 대상  은 집합  와 그 위의 덮개  순서쌍이다.
  •  의 사상  은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
     

이렇게 정의하였을 때, 같은 집합   위의 두 덮개  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   보다 더 엉성하다.
  •   세분이다.

유계형 집합의 범주   충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.

필터편집

다음과 같은 범주  를 생각하자.

  •  의 대상  집합    위의 필터 기저  이다.
  •  의 사상  은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
     

그렇다면, 집합   위의 두 필터 기저  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   보다 더 엉성하다.
  •  이다. 여기서  필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.

가측 공간편집

가측 공간가측 함수의 범주에서 집합함수의 범주로 가는 망각 함자

 

위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.

참고 문헌편집

  1. Preuss, Gerhard (2002). 《Foundations of topology: an approach to convenient topology》 (영어). Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-010-3940-6. doi:10.1007/978-94-010-0489-3. 
  2. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

외부 링크편집