위상동형사상
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위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, 영어: homeomorphism)은 위상수학적 성질을 양향적으로 보존하는 두 위상 공간 사이의 함수다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재할 경우, 이 둘은 서로 위상동형(位相同型, 영어: homeomorphic)이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다. 간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다.
정의
편집위상 공간 와 가 주어져 있다고 하고, 를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 가 다음의 세 조건을 만족하면, 를 위상동형사상이라 한다.
만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면 두 위상 공간이 서로 위상동형(영어: homeomorphic)이라고 한다.
예
편집- 에서 단위원(unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
- 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
- 두 원의 곱공간인 과 2차원 원환면은 위상동형이다.
- 일 때, 과 은 위상동형이 아니다.
- 구와 원환면은 서로 위상동형이 아니다.
로 정의된 함수 는 전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. ( 는 콤팩트 공간이지만 는 콤팩트 공간이 아니다.)
성질
편집같이 보기
편집외부 링크
편집- “Homeomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Homeomorphism”. 《PlanetMath》 (영어).