해밀턴은 당시 알려져 있던 라그랑지안 과 라그랑주 방정식 에 대한 해석을 내놓았다. 그 결과는
δ
S
δ
q
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0}
이다. 여기서
S
[
q
]
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
(
t
)
,
q
˙
(
t
)
,
t
)
,
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\ ,dt}
이고,
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}
은 라그랑지안 함수이다.
해밀턴 원리가 의미하는 바는 '운동 경로의 시작과 끝점이 주어졌고, 중간의 운동 방정식이 미리 주어져 있지 않았을 때, 물체의 운동은 라그랑지안을 시작점에서 끝점까지 시간에 따라 적분한 값이 최소가 되는 경로를 따른다'이다.
복소수 체계
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
와는 또 다른 복소수 체계인 해밀턴의 완성된 2성분의 순서쌍 복소수 표현편집
(
a
1
,
b
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
,
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})}
∴
(
0
,
1
)
2
=
(
0
,
1
)
×
(
0
,
1
)
=
(
−
1
,
0
)
=
−
1
=
i
2
{\displaystyle \therefore \;(0,1)^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1=i^{2}}
∴
(
0
,
1
)
=
i
{\displaystyle \therefore \;(0,1)=i}
(
1
,
0
)
=
1
{\displaystyle \;(1,0)=1}
∵
(
1
,
0
)
2
=
(
1
,
0
)
×
(
1
,
0
)
=
(
1
,
0
)
=
1
=
1
2
{\displaystyle \because \;(1,0)^{2}=(1,0)\times (1,0)=(1,0)=1=1^{2}}
해밀턴의 3성분의 순서쌍 복소수 표현의 실패 편집
2성분의 순서쌍을 확장하여 복소수
a
+
b
i
+
c
j
{\displaystyle a+bi+cj}
를 예상하면,
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
,
c
2
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})\cdot (a_{2},b_{2},c_{2})}
=
(
a
1
+
b
1
i
+
c
1
j
)
⋅
(
a
2
+
b
2
i
+
c
2
j
)
{\displaystyle =(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j)\cdot (a_{2}+b_{2}i+c_{2}j)}
=
a
1
a
2
+
a
1
b
2
i
+
a
1
c
2
j
+
b
1
i
a
2
+
b
1
i
b
2
i
+
b
1
i
c
2
j
+
c
1
j
a
2
+
c
1
j
b
2
i
+
c
1
j
c
2
j
{\displaystyle =a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+b_{1}ia_{2}+b_{1}ib_{2}i+b_{1}ic_{2}j+c_{1}ja_{2}+c_{1}jb_{2}i+c_{1}jc_{2}j}
=
a
1
a
2
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
b
1
b
2
i
2
+
c
1
c
2
j
2
+
b
1
c
2
i
j
+
c
1
b
2
j
i
{\displaystyle =a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+b_{1}b_{2}i^{2}+c_{1}c_{2}j^{2}+b_{1}c_{2}ij+c_{1}b_{2}ji}
i
2
=
−
1
=
j
2
,
i
j
=
−
j
i
=
k
{\displaystyle i^{2}=-1=j^{2},\;ij=-ji=k}
를 가정해서,
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
k
{\displaystyle =(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}
그리고
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
=
(
a
2
,
b
2
,
c
2
)
=
(
0
,
1
,
1
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})=(a_{2},b_{2},c_{2})=(0,1,1)}
를 예정하면,
(
0
,
1
,
1
)
⋅
(
0
,
1
,
1
)
{\displaystyle (0,1,1)\cdot (0,1,1)}
=
(
0
−
1
−
1
)
+
(
0
+
0
)
i
+
(
0
+
0
)
j
+
(
1
−
1
)
k
{\displaystyle =(0-1-1)+(0+0)i+(0+0)j+(1-1)k}
=
(
−
2
)
+
0
i
+
0
j
+
0
k
{\displaystyle =(-2)+0i+0j+0k}
=
−
2
≠
−
1
=
i
2
=
j
2
{\displaystyle =-2\neq -1=i^{2}=j^{2}}
이렇게 해서 불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 표현은 완전하지 않다.
그러나[1]
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
k
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}
는오일러의 네 제곱수 항등식
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,}
(
a
1
a
2
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,}
에서 각각 네번째항
a
4
2
=
b
4
2
=
0
{\displaystyle a_{4}^{2}=b_{4}^{2}=0}
의 특수한 경우이므로불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 공식의 계수가 네 제곱수 항등식의 그것과 같고,
이로써, 4성분의 순서쌍으로 복소 표현이 확장될수있음을 예상할 수 있고,[2]
해밀턴의 완성된 확장된 복소수체계 사원수(4성분의 순서쌍) 편집
이렇게 해서 확장시킨 복소수
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\displaystyle a+bi+cj+dk}
를 근거로해서,[3] [4]
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
k
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}
에서여기에
i
2
=
−
1
=
j
2
,
i
j
=
−
j
i
=
k
{\displaystyle i^{2}=-1=j^{2},\;ij=-ji=k}
로 부터,
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\;}
를 확장하면,[5]
(
a
1
2
+
b
1
2
+
c
1
2
+
d
1
2
)
(
a
2
2
+
b
2
2
+
c
2
2
+
d
2
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})=\,}
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
−
d
1
d
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
+
c
1
d
2
−
d
1
c
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})^{2}+\,}
(
a
1
c
2
−
b
1
d
2
+
c
1
a
2
+
d
1
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
d
2
+
b
1
c
2
−
c
1
b
2
+
d
1
a
2
)
2
{\displaystyle (a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})^{2}\,}
는
(
a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
,
c
2
,
d
2
)
=
{\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})\cdot (a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})=\,}
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
−
d
1
d
2
,
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
+
c
1
d
2
−
d
1
c
2
)
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},)+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\,}
+
(
a
1
c
2
−
b
1
d
2
+
c
1
a
2
+
d
1
b
2
)
+
(
a
1
d
2
+
b
1
c
2
−
c
1
b
2
+
d
1
a
2
)
{\displaystyle +(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})+\,(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\,}
을 만족하겠다.[6]